Perturbaciones espectrales y vibraciones de sistemas con masas concentradas

Résumé

En esta memoria estudiamos las vibraciones de un sistema formado por un cuerpo que ocupa un dominio de , que contiene una región, EB, cuyo diámetro es de orden O(E), donde E es un pequeño parámetro que haremos tender a cero, La densidad en dicha región es de orden O(E-m), siendo m un parámetro positivo, mientras que en el exterior es de orden unidad. Nosotros estudiamos el comportamiento asintótico, cuando E tiende a cero de los valores propios y funciones propias del correspondiente problema espectral relativo a ciertos problemas elípticos. Dicho problema espectral determina las frecuencias y modos de vibración fundamentales del sistema en un contexto dinámico, es decir dependiendo del tiempo. Diversos autores han estudiado las bajas frecuencias cuando m> 2, valores propios de orden O(Em-2), demostrando que, en este caso, aparecen vibraciones locales de la masa concentrada. Nos ocupamos de las altas frecuencias, esto es, de los valores propios de orden unidad, e=O(1), y de las correspondientes funciones propias. Demostramos que las altas frecuencias se densifican en todo el intervalo (O, ). Además, damos información sobre el comportamiento de las funciones propias tanto en la variable global, x, como en la variable local, y = x/E. También estudiamos el comportamiento asintótico de las frecuencias y modos de vibración fundamentales de una placa que contiene una masa concentrada, utilizando el modelo de placa de Mindlin. En este caso, consideramos todos los valores de m y tanto las bajas como las altas frecuencias.