Mathematical analysis and numerical simulation of some nonlinear problems in solid mechanics

Résumé

En el trabajo presentado a lo largo de la tesis se pueden distinguir tres partes bien diferenciadas aunque con una temática común: el estudio matemático y la resolución numérica de problemas no lineales en mecánica de sólidos, que surgen de procesos físicos presentes en las industrias del aluminio y las cerámicas, Se consideran situaciones reales donde aparecen distintas no linealidades: leyes de comportamiento de tipo viscoplástico, condiciones de contorno tales como el contacto unilateral, etc. Parte 1. Procesos de colada de aluminio: Algoritmos eficientes para su simulación numérica. En la primera parte de la tesis proponemos dos algoritmos para resolver numéricamente la deformación sufrida por una placa de aluminio en el proceso de colada. Se considera que el proceso de colada es un problema cuasi-estático para un sólido termo-elasto-viscoplástico con una condición de contacto unilateral con el falso fondo. Con el objetivo de mejorar la convergencia de algoritmos propuestos anteriormente, se proponen nuevas estrategias numéricas para la resolución numérica de este proceso, tales como métodos generalizados de Newton, una técnica de adimensionalización de la ley constitutiva del aluminio, una factorización parcial de Cholesky o una elección automática de los parámetros del algoritmo. Parte 2. Ensayo de flexión en tres puntos: Estudio matemático y simulación numérica. La segunda parte está dedicada al análisis matemático del ensayo de flexión en tres puntos y al cálculo de módulo de ruptura de materiales frágiles. En primer lugar, se prueba la existencia de una solución única del problema elástico con condición de contacto unilateral sin rozamiento correspondiente al ensayo de flexión en tres puntos y, para justificar la fórmula clásica del módulo de ruptura, se busca el modelo límite del problema usando técnicas de análisis asintótico. En segundo lugar, se analiza analítica y numéricamente, desde varias perspectivas, el módulo de ruptura de materiales frágiles. En particular, se dan cuatro aproximaciones diferentes del módulo de ruptura: a través de la fórmula clásica, a través de las simulaciones numéricas uni y tridimensionales, y usando una fórmula mejorada para el módulo de ruptura obtenida a través del análisis asintótico. Parte 3. Un problema de elasticidad para soportes de procesos de catálisis: El método de desdoblamientos. El objetivo de la tercera parte de la tesis es estudiar el comportamiento asintótico de los soportes usados en procesos de catálisis en un problema de elasticidad lineal, donde se considera que el soporte es una estructura formada por vigas, colocadas periódicamente y con huecos interiores. Para ello, se considera el método de desdoblamientos, o "unfolding method", que ofrece herramientas para llevar a cabo el análisis asintótico y homogeneización de diferentes estructuras formadas por un gran número de vigas, placas o membranas.