Análisis de la aproximación numérica de problemas variacionales no convexos

Abstract

El objetivo central de este trabajo es el análisis numérico de algunos problemas variacionales relacionados con la elasticidad no lineal, en los que la falta de ciertas propiedades de convexidad deriva en la ausencia de mínimo y en el comportamiento oscilatorio de las sucesiones minimizantes, dando lugar a la aparición de microestructuras, La aproximación numérica de estas microestructuras se realiza mediante la relajación, en términos de medidas de Young, de este tipo de problemas. Debido a la dificultad que supone tratar con la propiedad de cuasiconvexidad, la alternativa presentada en este trabajo basa el esquema de aproximación en el tratamiento de la envolvente convexa de rango uno, gracias a la cual es posible construir medidas asociadas a problemas homogéneos. Por su parte, la aproximación de problemas no homogéneos se lleva a cabo mediante la construcción de una sucesión de medidas de Young discretas que convergen macroscópicamente a la solución del problema relajado y que permiten codificar el comportamiento de las sucesiones minimizantes. Se finaliza con algunos experimentos numéricos que ponen de manifiesto la capacidad de este esquema en la aproximación de microestructuras.