Topological quantum field theories for character varieties

Resumen

La presente tesis doctoral está dedicada al estudio de las estructuras de Hodge de un tipo especial de variedades algebraicas complejas conocidas como variedades de caracteres. Estas variedades surgen de forma natural como el espacio de móduli de representaciones del grupo fundamental de una variedad compacta en un grupo algebraico fijado G y están íntimamente ligadas con los espacios de móduli de fibrados de Higgs y de conexiones planas a través de la teoría de Hodge no abeliana. En esta tesis doctoral, proponemos utilizar unas poderosas herramientas de naturaleza álgebro-geométrica, provenientes de la física teórica, conocidas como Teorías Topológicas de Campos Cuánticos (TQFTs, por sus siglas in inglés). Con esta idea, desarrollamos un formalismo que nos permite construir TQFTs a partir de dos piezas más sencillas de información: una teoría de campos (información geométrica) y una cuantización (información algebraica). En base a esta construcción, formularemos una TQFT que calcula la imagen en K-teoría de las estructuras de Hodge de variedades de representaciones. Para ello, la teoría de módulos de Hodge mixtos jugará un papel central en la construcción de la cuantización. Como aplicación, calcularemos explícitamente la clase en K-teoría de la estructura de Hodge de variedades de representaciones parabólicas sobre SL(2,C) de superficies cerradas orientables con cualquier cantidad de puntos marcados no semi-simples. Finalmente, analizaremos en detalle la Teoría de Invariantes Geométricos (GIT, por sus siglas en inglés) con vistas a comprender las variedades de caracteres en base a las variedades de representaciones. Con este propósito, formulamos un nuevo tipo de cociente, llamado pseudo-cociente, que, en contraposición con los cocientes GIT clásicos, tiene buenas propiedades respecto a estratificaciones. Utilizando esta herramienta y basándonos en los resultados obtenidos mediante TQFTs, calculamos los polinomios de Deligne-Hodge de variedades de caracteres parabólicas sobre SL(2,C) de las superficies cerradas y orientables.