Global approximation theorems for partial differential equations and applications

Resumen

Muchos problemas sobre el comportamiento de soluciones de ecuaciones en derivadas parciales pueden resolverse de un modo constructivo. Consideremos por ejemplo que queremos saber si pueden aparecer estructuras topológicas complejas en las soluciones de una ecuación. Entonces podemos tomar una de esas hipersuperficies topológicas y construir una solución (no necesariamente explícita) que la contenga, salvo un pequeño difeomorfismo. Muchas de estas preguntas surgen también en física y responderlas nos permitirá entender mejor lo que subyace tras el fenómeno físico. La estrategia para tratar este tipo de problemas se debe a A. Enciso y D. Peralta-Salas y fue inicialmente empleada en fluidos ideales con estructuras anudadas de vorticidad y para prescribir conjuntos de nivel de soluciones a ciertas ecuaciones elípticas. Se basa en la construcción de una solución local de la ecuación conveniente y su posterior extensión a una solución global salvo pequeños errores de modo que se preserven ciertas propiedades de la solución. Este enfoque está limitado por la existencia de los teoremas de aproximación que garantizan el paso de la solución local a la global con un error controlado. Prácticamente toda la literatura al respecto esta ¿ dedicada a (ciertas clases de) operadores elípticos. El principal objetivo de esta tesis es extender esta teoría de aproximación a ecuaciones parabólicas suponiendo cierta regularidad en sus coeficientes. En concreto, demostramos que cualquier solución en una región espacio-temporal con algunas condiciones técnicas puede aproximarse arbitrariamente por una solución global de la misma ecuación en una norma de Hölder parabólica. Si el operador parabólico satisface además otras condiciones (como que sea el del calor fuera de un conjunto compacto), se puede probar que la solución global decae tanto en espacio como en tiempo. Probamos también un resultado análogo para ecuaciones elípticas que se parecen a la de Helmholtz fuera de un compacto. Una vez que disponemos de estos teoremas, podemos centrarnos en sus aplicaciones. En esta tesis probamos la existencia de soluciones globales a ecuaciones parabólicas con puntos calientes (máximos en el espacio para cada tiempo) locales que se mueven siguiendo cualesquiera curvas dadas, salvo pequeños errores. También vemos que hay soluciones globales que poseen superficies isotermas (conjuntos de nivel para cada tiempo) de topologías prescritas, que incluso pueden cambiar con el tiempo. Ambos resultados se pueden observar también en soluciones de la ecuación del calor en el toro plano considerando escalas espacio-temporales pequeñas. Aunque los teoremas de aproximación global se restringen a ecuaciones lineales, podemos emplearlos también para prescribir conjuntos de nivel de soluciones a algunas ecuaciones no lineales. Esta tesis da un resultado sobre la existencia de superficies mínimas sobre la bola con un conjunto de nivel que se asemeja a cualquier hipersuperficie dada (verificando algunas condiciones sencillas). En los teoremas de aproximación, la existencia y comportamiento de los núcleos integrales que resuelven las ecuaciones son esenciales. El último resultado de esta tesis versa sobre la estructura del núcleo integral para el rotacional en un dominio acotado. Este juega un papel clave en la mecánica de fluidos y el electromagnetismo y generaliza el famoso operador de Biot-Savart, que permite recuperar un campo vectorial de divergencia nula a partir de su rotacional en todo el espacio. En otras palabras, demostramos que la velocidad de un fluido incompresible tangente al contorno en un dominio acotado puede escribirse en función de su vorticidad usando un núcleo integral con una singularidad cuadrática en la diagonal. Al mismo tiempo que estos, se han obtenido otros resultados sobre temas de física matemática, que se exponen brevemente al final de la tesis.