Differentiable approximation and extension of convex functions

Resumen

Las funciones convexas y, en particular, las funciones convexas diferenciables juegan un papel fundamental dentro del Análisis Matemático y tienen una gran cantidad de aplicaciones en otras disciplinas como la Geometría Diferencial, las EDPS (en particular las ecuaciones de Monge-Ampère), las Dinámicas No Nineales, la Computación Cuántica o la Economía. Por tanto, es sin duda útil cualquier herramienta que permita aproximar o extender por funciones convexas diferenciables en distintos espacios de Banach. Si tenemos una función convexa y acotada en conjuntos acotados definida en un espacio de Banach con dual LUR, se sabe por los resultados de D.Azagra que esta función puede aproximarse por funciones convexas diferenciables uniformemente en todo el espacio. Sin embargo, puesto que existen ejemplos de funciones convexas continuas no acotadas en conjuntos acotados, es deseable eliminar esta restricción de la función que deseamos aproximar. En esta tesis se elimina esta restricción y se demuestra que las funciones convexas y continuas definidas en abiertos convexos de espacios de Banach con dual LUR, pueden aproximarse uniformemente por funciones convexas diferenciables uniformemente en todo el espacio. En el resto de la tesis se estudia cuándo una función definida en un subconjunto arbitrario de un espacio de Hilbert junto con una familia de derivadas putativas puede ser extendida a una función diferenciable y convexa en todo el espacio. Es decir, se estudia el problema de encontrar una versión del Teorema de Extensión de Whitney para funciones convexas, así como sus principales consecuencias y aplicaciones. Se obtiene una solución completa al problema en espacios de Hilbert para funciones convexas diferenciables de clase uno y cuyo gradiente es uniformemente continuo mediante fórmulas explícitas garantizando un control óptimo del módulo de continuidad asociado al gradiente de la extensión. Como consecuencia se resuelve el problema para funciones diferenciables no necesariamente convexas con gradiente Lipschitz, mediante fórmulas explícitas. También se obtiene una caracterización de aquellos subconjuntos que pueden ser interpolados por hipersuperficies convexas de clase uno que poseen normal Lipschitz con hiperplanos tangentes prescritos. El Teorema de Kirszbraun se obtiene también como corolario. Por último, vemos como estos resultados se pueden extender a espacios superreflexivos para cierta clase de módulos de continuidad asociados a la derivada. Se obtiene una solución completa al problema en dimensión finita para funciones convexas diferenciables de clase uno con derivada no necesariamente uniformemente continua. Cuando el dominio es no acotado, se realiza un estudio detallado del comportamiento global de las funciones convexas diferenciables y se introduce el concepto de esquina en el infinito. Se obtiene un Teorema de Extensión de Whitney para funciones convexas diferenciables de clase uno con comportamiento global geométrico prescrito. Se resuelve un problema similar para funciones convexas Lipschitz y diferenciables con un control prácticamente óptimo de la constante de Lipschitz de la extensión. Como consecuencia se caracterizan los conjuntos que pueden ser interpolados por hipersuperficies convexas de clase uno con hiperplanos tangentes prescritos. Aplicaciones de estos resultados a distintas especialidades como las curvas autocontractantes y las propiedades de Lusin has sido obtenidas por otros autores. Se estudia también el problema para funciones convexas con órdenes de diferenciabilidad superior y se demuestran resultados de extensión prácticamente óptimos para dominios convexos y compactos que son intersección de una familia finita de ovaloides con cierta regularidad. Por último, se da la solución completa al problema para funciones convexas infinitamente diferenciables prescribiendo las infinitas derivadas putativas desde dominios convexos compactos.