Aplicación de métodos algebraicos y geométricos al estudio de la evolución de sistemas dinámicos

Résumé

El objetivo de la tesis es aplicar los métodos algebraicos y geométricos modernos al estudio de los sistemas dinámicos y, en particular, al estudio de los sistemas de ecuaciones diferenciales que los definen, La tesis está estructurada en cuatro capítulos. En el primer capítulo se enmarca el problema a estudiar. De este modo en él se estudian las estructuras geométricas que definen los sistemas de ecuaciones diferenciales, en particular, los sistemas no autonómos y no lineales, así como se presenta su aplicación a los sistemas Hamiltomianos dependientes del tiempo. En el segundo capítulo se estudian de forma paralela el Teorema de Lie-Scheffers y el Método de Wei-Norman de ecuaciones diferenciales, interpretando ambas desde el punto de vista geométrico y algebraico. Además se aplica todo lo anterior al estudio de la Ecuación de Riccati y de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales. Por último se da una aplicación en el campo de la mecánica cuántica: La resolución del problema espectral del Oscilador Armónico. En el Tercer Capítulo se presentan diversos métodos de resolución aproximada de ecuaciones diferenciales. En particular se presentan los métodos de Dragt-Forest, Magnus, Fer y Fer-Wilox, todos ellos comparten de característica de conservar la simplecticidad o unitaridad de las estructuras sobre los que actúan. El último Capítulo está dedicado al estudio de la óptica simpléctica. En él se fundamentan rigurosamente las estructuras geométricas del espacio de rayos y se hallan coordenadas de Darboux en diversos medios ópticos. Por último se aplican los métodos perturbativos presentados en el capítulo anterior al estudio de la evolución del rayo óptico.