Algunos problemas de la teoria geometrica en funciones en superficies de klein

Resumen

Se estudian, en esta memoria, ciertas cuestiones relativas a la teoría de las funciones y formas analíticas, en el marco de las superficies de Klein, marco más general que el de las superficies de Riemann. El primer capítulo es introductorio. En el segundo capítulo se estudian las superficies de Klein, sus morfismos, en especial el recubridor doble y los espacios de Teichmüller definidos sobre ellas. En el tercer capítulo se estudian las extensiones (compactas) de esas superficies y el problema de la unicidad de dichas extensiones. En los capítulos cuarto y quinto se abordan ciertos problemas relativos a las formas diferenciales. En el cuarto se definen algunos espacios vectoriales de formas diferenciales y se calculan dimensiones de los espacios que aparecen en la descomposición ortogonal del espacio de las formas armónicas que se anulan sobre el borde. En el quinto se estudia la intersección de curvas sobre superficies de Klein, se estudian los periodos de ciertas formas diferenciales y se obtienen expresiones para ciertos funcionales que corresponden a las fórmulas reproductivas de las superficies de Riemann. Los capítulos sexto y séptimo se dedican a la teoría de las líneas- , desarrollada por G. Barsegian para las funciones meromorfas. Aquí se estudia esta teoría para las funciones algebroides. En el sexto se observa que estas funciones pueden ser consideradas como funciones definidas en una superficie de Riemann de un número finito de hojas y se prueba para estas funciones el llamado Principio de la Variación de la Tangente, así como una variante y algunas consecuencias. En el séptimo se utiliza la teoría de las líneas- para probar un principio de proximidad para las anteimágenes de una función algebroide. Finalmente se plantean algunos problemas abiertos, relacionados con los que se abordan a lo largo de la memoria.