Caracterización de elipsoides mediante secciones y simetrías

Resumen

Los elipsoides son los únicos cuerpos convexos en los que todas las secciones planas son elipses, Asimismo, son los únicos cuerpos convexos con centro, que son simétricos respecto de todo plano que pasa por su centro. En esta memoria se debilitan las hipótesis de estas caracterizaciones restringiendo el número de secciones y simetrías. El capítulo 1 contiene las definiciones generales que se manejan a lo largo de la memoria, así como una breve reseña histórica que recoge los principales resultados relacionados con el tema. Sea B un cuerpo convexo del espacio afín E3. El capítulo 2 está dedicado a estudiar cuantos haces de planos son necesarios para que B tenga que ser un elipsoide, sabiendo que las secciones con planos de dichos haces son elipses. Se demuestra, por ejemplo, que si r y s son dos rectas paralelas, una de las cuales pasa por el interior de B, y todas las secciones con planos que contienen a r ó a s son elípticas, entonces B tiene que ser un elipsoide. Se obtienen resultados similares cuando r y s se cortan o son secantes, y cuando se consideran haces de planos paralelos. El capítulo se completa con una colección de ejemplos y contraejemplos. En el capítulo 3 se muestra que si B es simétrico respecto de tres planos y existe cierta relación entre los planos y las direcciones de simetría, entonces B tiene que ser un elipsoide. En otro apartado de este capítulo se demuestra que las regiones de Voroni del plano son convexas si y solo si la distancia que las define es la euclídea. En el capítulo 4 se extiende a dimensión mayor que tres los resultados de los capítulos anteriores. La memoria finaliza con una amplia bibliografía relacionada con el tema.