Aplicaciones del plano con un punto fijo de atracción global

Resumen

El estudio de esta memoria ha sido motivado por preguntas relativas a la estabilidad global de un punto fijo de una aplicación definida en $\R^n$ , Muchos matemáticos han abordado este problema relacionándolo con lo ya existente para campos vectoriales que definen un sistema continuo.\par \bigskip Nosotros nos preguntaremos por condiciones necesarias para garantizar la atracción global de un punto fijo de una aplicación inyectiva de clase $C^1$ definida en el plano. El origen del estudio se inspira en la siguiente conjetura: \bigskip \noindent \emph{Conjetura DMY (Discreta de Markus-Yamabe):} Sea $f:\R^n\rightarrow \R^n$ una aplicación de clase $C^1$ tal que $f(0)=0$ y todos los valores propios de la matriz diferencial de $f$ en cada punto tienen norma menor que uno. ¿Es el $0$ un atractor global del sistema discreto generado por $f$?. \bigskip La Conjetura DMY se inspiró a su vez en su primera versión para campos vectoriales a la que se le llamó Conjetura de Markus-Yamabe: \bigskip \noindent \emph{Conjetura de Markus-Yamabe:} Sea $X:\R^n\rightarrow \R^n$ un campo vectorial de clase $C^1$ tal que $X(0)=0$. Si para todo $p\in \R^n$ la parte real de todos los valores propios de la matriz diferencial de $X$ en $p$ es negativa. ¿Es el origen un atractor global del sistema continuo dado por $X$? \bigskip El trabajo pionero de C. Olech y también el de Markus Yamabe muestran la existencia de una fuerte relación entre comportamiento asintótico global de un campo vectorial $X:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ y la inyectividad de $X$ (considerado como una aplicación). Esta conexión fue estudiada y desarrollada en numerosas publicaciones. Nosotros veremos en esta memoria que la inyectividad también juega un papel importante a la hora de estudiar la dinámica global de una aplicación cualquiera de clase $C^1$. \par \bigskip Como se detallará en esta memoria, salvo en el caso de aplicaciones triangulares, la Conjetura DMY únicamente es cierta en dimensión $1$ y para difeomorfismos polinomiales definidos en el plano. Por ello cabe preguntarse por la dinámica de las aplicaciones del plano para las que el origen no es un atractor global pese a que verifican las condiciones de la Conjetura DMY.\par \bigskip El objetivo de esta memoria es dar respuesta al Problema DMY o Conjetura Discreta de Markus Yamabe en dimensión $2$ con hipótesis adicionales. La hipótesis natural después de estudiar el contraejemplo de Szlenk al caso racional, es la siguiente: \begin{itemize} \item[(a)] $f$ es disipativa. \end{itemize} Esta hipótesis adicional no es todavía suficiente para generalizar el Problema DMY como se mostrará en esta memoria. Probaremos la existencia de un difeomorfismo suave $f:\R^2\rightarrow \R^2$ que tiene una órbita periódica de período cuatro. No obstante, el $\infty$ es un repulsor, $f(0)=0$ y $\spec(f)\subset B(0,1)$.\par \bigskip Dado que el inconveniente es la aparición de órbitas periódicas, el siguiente paso es el estudio del caso en el que no existan. Veremos que si el espectro de una aplicación diferenciable que fija el origen no intersecta al intervalo $[1, 1+\varepsilon)$ para un $\varepsilon>0$, entonces la aplicación no tiene puntos fijos salvo el origen. Usando esa misma técnica, probaremos que si la diferencial de la aplicación no tiene valores propios reales entonces tampoco tiene órbitas periódicas de período $2$. Además también daremos condiciones que prueben que, si la aplicación tiene valores propios reales dobles, no es una homotecia y el $1$ no está incluido en el espectro de la aplicación, entonces tampoco tiene órbitas periódicas de períodos mayores. Lo demostraremos usando las propiedades de un homeomorfismo definido en la circunferencia dado por la variación del ángulo del sistema linealizado. Relacionaremos los iterados de la aplicación con la composición de estos homeomorfismos. También la existencia de valores propios imaginarios, reales positivos o negativos vendrán determinados por los valores que toman estos homeomorfismos en el intervalo $[0,2\pi)$.\par \bigskip Es definitiva, construiremos una familia de aplicaciones del plano para las que no aparecen más puntos fijos ni órbitas periódicas que no sean la del origen. No obstante, daremos un ejemplo de un difeomorfismo del plano de clase $C^1$ que verifica las hipótesis de la Conjetura DMY, el infinito es un repulsor, no tiene órbitas periódicas ni puntos fijos salvo el $0$ y el origen sigue sin ser atractor global.\par \medskip Llegados a este punto, es fácil ver que la dinámica de una aplicación de la familia de la Conjetura DMY no se pude determinar incluso imponiendo que el infinito sea repulsor ni eliminando la existencia de órbitas periódicas. Por lo que tienen que aparecer fenómenos más extraños. Esto nos induce a preguntarnos por las propiedades de un difeomorfismo $f$ definido en $\R^2$ que ya tenga el origen como punto fijo de atracción asintótica global. Probaremos que existe una $C^r-$foliación de $\mathbb{R}^2\setminus \{0\}$ por curvas invariantes con ciertas propiedades a las que llamaremos rayos $f-$invariantes. Por esta razón la segunda hipótesis que se introduce en la Conjetura DMY es la siguiente: \begin{itemize} \item[(b)] Existe un rayo $f-$invariante. \end{itemize} Tiene sentido porque, si el infinito es un repulsor, la existencia de un rayo invariante nos dice que el origen está en la variedad inestable del infinito y ambas hipótesis nos deberían permitir generalizar el problema. \bigskip En esta memoria estudiaremos el Problema DMY con las hipótesis adicionales: la aplicación es inyectiva, es disipativa (o equivalentemente el infinito es un repulsor) y existe un rayo invariante por la aplicación.\par \bigskip En cuanto a resultados concretos, la primera pregunta que se aborda en esta memoria es relativa a la existencia de un único punto fijo. La segunda se refiere a la existencia de otros puntos no errantes como las órbitas periódicas. La tercera es el $\omega-$límite de todos los puntos del plano. Por lo tanto, la estrategia a seguir es la siguiente: \par \bigskip Sea $f$ un embebimiento de clase $C^1$ verificando las condiciones de la Conjetura DMY. Para conseguir que el $0$ sea un atractor global del sistema en primer lugar probaremos que, debido a la condición sobre el espectro de la aplicación, el origen es el único punto fijo y además es asintóticamente estable. Después probaremos junto con la hipótesis adicional $(b)$ que el conjunto de puntos no errantes de la aplicación es exactamente el conjunto unitario de puntos fijos. De esta manera centraremos nuestra atención en la órbita positiva de un punto cualquiera del plano, es decir la sucesión $\{f^n(p)\}_{n\in \N}$ con $p\in \R^2$. Si se verifica $(a)$ obtenemos que la sucesión es convergente y por tanto únicamente faltará probar cuándo su límite es exactamente el origen, alcanzando así el objetivo de esta memoria: probar que el origen es un punto fijo de atracción asintótica global. \bigskip El paso más delicado es el referente al estudio del conjunto de puntos no errantes del sistema. Es aquí donde se ve claramente la importancia del rayo $\gamma$ invariante por la aplicación $f$. Veremos que el conjunto $\R^2\setminus \gamma$ es homeomorfo a $\R^2$ y que el conjunto de puntos fijos de $f$ está contenido en la curva. Por tanto, $f$ restringida al complementario de $\gamma$ es una aplicación sin puntos fijos.\par \bigskip En primer lugar supondremos que la aplicación preserva la orientación para hacer uso de la teoría existente sobre embebimientos del plano sin puntos fijos motivada por el Teorema de Massera y desarrollada por P. Murthy y R. Ortega, entre otros. Esta teoría afirma que una aplicación continua e inyectiva del plano sin puntos fijos no tiene puntos no errantes. \par \medskip En segundo lugar estudiaremos el caso en que la aplicación $f$ no preserve necesariamente la orientación, en este sentido lo que haremos será aplicar los resultados obtenidos a la segunda iterada $f^2$ que sí que preserva la orientación y centraremos nuestra investigación en la existencia de órbitas periódicas de período $2$.