Multiplicidad y valores propios no reales en problemas de contorno para ecuaciones diferenciales definidas sobre redes

Resumen

Consideraremos una red conexa finita de M brazos y N nudos, en la que admitimos la posibilidad de que los brazos sean múltiples, es decir, que haya varios brazos que unen la misma pareja de nudos, o también que sean bucles, es decir, que unan un nudo consigo mismo, y que los nueos sean terminales, es decir, reciban un solobrazo, Los brazos podrán ser, en principio, arcos que conectan parejas de nuedos, o un nudo consigo mismo. En cualquir caso, aceptaremos que pueden ser parametrizados de forma que se puedan identificar como intervalos reales El trabajo está estructurado en cinco capítulos. En el primero de ellos se presenta el tema, se describen los objetivos y se hace una relación de trabajos de otros autores que se han interesado por rl mismo tipo de problema. En el capítulo 2 se obtiene una cota superior para el número de soluciones independientes del problema estacionario citado anteriormente 0, equivalentemente, la multiplicidad geométrica de los valores propios, y se ve que dicha cota es óptima en el sentido de que es alcanzada si se elegen adecuadamente los coeficientes de las ecuaciones diferenciales definidas en un gráfo dado. Una importante consecuencia es que la única red en que puede asegurarse multiplicidad máxima uno es la que se puede identificar con el intervalo. El capítulo 3 está dedicado a estudiar condiciones para que los operadores asociados a estos problemas sean autoadjuntos respecto de alguna métrica. Si el grafo es un árbol, entonces los operadores de este tipo son autoadjuntos para cierta métrica. Si el grafo no es un árbol, es decir, contiene algún ciclo, son necesarias algunas condiciones de compatibilidad entre los coeficientes de las ecuaciones y los de las condiciones de contorno para garantizar la simetría del oeprador respecto de cierta métrica. Estas condiciones son suficientes para la autoadjuntividad respecto de dicha métrica. En el capítulo 4 se estudia con cietra prof