Ciclidad de coeficientes multiplicadores y subespacios de funciones universales

Résumé

En el Análisis de Variable Compleja uno de los campos que más se está desarrollando en los últimos años es el fenómeno dinámico de la universalidad y en especial el estudio del comportamiento de una función holomorfa en la frontera de un dominio G por sí misma o mediante la acción de algún operador T, así como el f ... enómeno de la hiperciclicidad de operadores En el primer caso, ya desde 1929 se conoce la existencia de funciones enteras con un comportamiento ''salvaje'' en el punto frontera infinito. Más adelante se ha conseguido probar la existencia de un conjunto topológicamente grande (residual en H(G)) de tales funciones. Estos resultados pueden expresarse en términos de maximalidad de ciertos conjuntos cerrados denominados ''cluster sets''. Siguiendo esta línea W. Luh y K.-G. Grosse-Erdmann construyen a través de ciertos ''cluster sets modificados'' funciones holomorfas de forma que tanto ellas como sus derivadas posean un comportamiento extremadamente arbitrario en la frontera de conjuntos abiertos y de nuevo se consigue que el conjunto de tales funciones sea grande en sentido topológico. Resultados de este tipo pero vía ciertos conjuntos planos han sido conseguidos también por L. Bernal y M.C. Calderón a través de los operadores omnipresentes y con imágenes densas por doquier. Con respecto de la hiperciclicidad, o existencia de un elemento con órbita densa bajo la acción de un operador T, se pueden encontrar en la literatura numerosos ejemplos de estos operadores sobre distintos espacios. Uno de los más interesantes es el de operadores del tipo desplazamiento (con o sin pesos) sobre espacios de sucesiones o de funciones holomorfas. En este sentido se ha conseguido caracterizar la hiperciclicidad de dichos operadores sobre distintos espacios (H(C), espacios de Hardy Hp, espacios de sucesiones p-sumables o convergentes a 0, entre otros). Sin embargo un estudio similar para el caso de operadores en los que no se produzca desplazamiento de los coeficientes aún no se ha realizado. El objetivo de la Tesis es en una primera fase abordar el problema de la hiperciclicidad (y sus formas débiles: superciclicidad y ciclicidad) de operadores sobre espacios de funciones analíticas que no desplacen los coeficientes de Taylor. Para ello fijamos el tipo de espacios con los que trabajar, los CP-espacios (en los que se incluyen ejemplos clásicos como espacios de Hardy Hp o Bergman Bp) y definimos los operadores adecuados que manejaremos, los c-multiplicadores, consiguiendo una caracterización completa de su hiperciclicidad, superciclicidad y ciclicidad y estudiando su relación con el Criterio de Hiperciclicidad. Asimismo hacemos un estudio exhaustivo del tamaño del conjunto de funciones cíclicas para un solo c-multiplicador. En una segunda fase estudiamos el tamaño algebraico del conjunto de funciones con comportamiento salvaje en la frontera de su dominio de definición a través de conjuntos planos, introduciendo el concepto de LDI-operador que generaliza los conceptos de operador omnipresente y operadores con imagen densa por doquier. Asimismo estudiamos cuándo algunos operadores clásicos, como los diferenciales de orden infinito, los de composición y multiplicación poseen este tipo de comportamiento. Por último, estudiamos la existencia de funciones con un comportamiento igualmente salvaje pero via maximalidad de los ''cluster sets''. Estudiamos la existencia de subespacios vectoriales densos de funciones con cluster sets maximales a lo largo de cualquier curva que se aproxime a la frontera de G, aunque no a todo punto de ella. Asimismo, daremos condiciones suficientes para que dichas funciones caóticas posean existan en espacios de Hardy Hp, aunque debemos restringir la cantidad de curvas. Por otra parte vemos que si reemplazamos curvas por sucesiones que tiendan a la frontera de G, tenemos que acotar el lugar por donde la sucesión se acerca a la frontera de G