Contribución al estudio numérico de problemas de vórtices estacionarios.

Résumé

Presentamos en este trabajo: 1- La motivación física de los problemas de vértices (torbellinos) en IR3 y IR2 ... #39;Times New Roman','serif'; font-size: 12pt">2- El problema matemático asociado y su resolución funcional. 3- El problema numérico (aproximación por elementos finitos). 4- Resultados de regularidad regularización convergencia y monotonía asociados al problema. 5- Algoritmos de cálculo de las soluciones. 6- Resultados numéricos.Capítulo 1, en la Sección 1 de este Capítulo formulamos el problema físico bajo consideración, describimos su modelización matemática, y presentamos un detallado desarrollo histórico del mismo, resaltando de forma especial las analogías que presenta con ciertas cuestiones que aparecen en el estudio del plasma confinado en una cavidad toroidal. La Sección 2, de carácter general, resume el espíritu de los próximos Capítulos, y señala el interés físico-matemático de los resultados obtenidos. Finalmente, en la Sección 3, indicamos los resultados básicos del Análisis Funcional que utilizaremos más adelante.Capítulo 2, En la Sección de este Capítulo, recordamos los resultados de BERESTYCKI [5] para el problema modelos general, y aplicamos razonamientos similares para el problema discreto asociado, formulación en elementos finitos, obteniéndose la existencia de soluciones, tras las respectivas aplicaciones de los Teoremas de Shauder y de Brower del Punto Fijo. La difenciabilidad del operador que interviene en cada formulación se considera en la Sección 2, y permite posteriormente formular equivalentemente los problemas considerados en el sentido de los mínimos cuadrados. En la Sección 3 desarrollamos un algoritmo iterativo que se nutre de las propiedades de monotonía del problema. Finalmente, aplicamos en la Sección 4 un procedimiento de regularización a dos ejemplos �no diferenciables�. Capítulo 3, en la Sección 1 de este Capítulo, establecemos la convergencia (fuerte) en el espacio H10(O)*R1 de las soluciones (uh, ?h) de los problemas (Ph) hacia una solución (u, ?) del problema modelo (P). Seguidamente aplicaremos los resultados obtenidos a los casos particulares de anillos vórtices y pares de vórtices planos. La Sección 2 considera la existencia y aproximación de soluciones aisladas; mediante una sencilla aplicación del Teorema de Nwton-Kantorovitch (cf. [47]), obtenemos un algoritmo convergente hacia una solución del problema considerado, una vez que se conoce una aproximación de la misma. Finalmente, detallamos en la Sección 3 las condiciones �de tipo angular� que deben imponerse sobre las diferentes triangulaciones de dominio O para obtener la monotonía del operador discreto Ab-1.