Sumabilidad y lineabilidad en espacios normados

Abstract

La Tesis Doctoral se ha desarrollado en los campos de investigación de la sumabilidad y la lineabilidad en espacios normados, unidos ambos temas, por el nexo inicial común, del estudio de la lineabilidad en determinados tipos de series. A lo largo del trabajo abordamos los problemas de caracterización de las series débil incondicionalmente de Cauchy (wuC) a través de los espacios de sumabilidad matricial tanto en la topología de la norma como en las topologías débiles; a tal fin, para una serie \zeta en un espacio normado X definimos los espacios de A-sumabilidad S_A(\zeta), sumabilidad débil S_{Aw}(\zeta) y sumabilidad estrella débil S_{A*w}(\zeta), siendo A una matriz infinita regular. También estudiamos a través de estos espacios, diferentes propiedades del espacio normado X, como la completitud o la tonelación. Y tratamos generalizaciones del teorema de Orlicz-Pettis y teoremas de tipo Hahn-Schur, generalizando resultados de convergencia uniforme de series incondicionalmente convergente (uc) a series débil incondicionalmente de Cauchy (wuC). De este modo, por ejemplo, hemos logrado caracterizar a las series wuC mediante la completitud de los espacios S_A(\zeta) y S_{Aw}(\zeta). Así mismo la completitud del espacio normado queda caracterizada por la completitud tanto de S_A(\zeta) como de S_{Aw}(\zeta), para cada serie \zeta wuC que se considere. También obtenemos una caracterización de las series en el dual de X mediante el espacio S_{A*w}(\zeta). Hemos probado que la convergencia incondicional de una serie (uc) equivale a la subserie sumabilidad débil matricial. Fijada una cierta matriz infinita A regular y fijado un espacio S de sucesiones escalares acotadas que contenga a c_0 consideramos los espacios X(S,A) ( y resp. X_w(S,A) ) como los espacios de sucesiones vectoriales \zeta tal que la serie resultado de multiplicar, término a término, \zeta por cada sucesión (a_i)_i de S es A-sumable (análogamente es A-débilmente sumable). Probamos que con una apropiada norma ambos espacios son completos y obtenemos dos condiciones suficientes para la convergencia uniforme de series wuC, generalizando los Teoremas de Hahn-Schur y Swartz obtenidos para series uc. En el campo de la lineabilidad, estudiamos la lineabilidad de espacios de series y sucesiones escalares, estudiamos la lineabilidad de espacios de series vectoriales y la lineabilidad de funciones discontinuas en R. En relación con series y sucesiones escalares probamos, en particular: que las series condicionalmente convergentes son c-lineables en el espacio de las series convergentes, que las series no convergentes son c-lineables en el espacio de las series con sumas parciales acotadas y que las sucesiones no convergentes son c-lineables en el espacio de las sucesiones acotadas. Para series vectoriales, probamos que las series wuC en c_0 que no convergen débilmente son c-lineables, así como la c-lineabilidad de las series absolutamente divergentes y las incondicionalmente convergentes. Finalmente nos preocupamos del problema de la lineabilidad de funciones discontinuas en R. Introducimos un nuevo concepto, el de coneabilidad (un subconjunto de R^R es coneable si contiene a un cono conteniendo, a su vez, un conjunto infinito y linealmente independiente). Estudiamos la lineabilidad del conjunto de todas las funciones cuyos puntos de discontinuidad son un conjunto F_{\sigma} prefijado F. Si F_{\sigma} es cerrado el conjunto de las funciones cuyos puntos de discontinuidad es F es lineable y si no es cerrado será coneable. Análogos resultados se obtienen para funciones discontinuas integrables Riemann cuyos puntos de discontinuidad son exactamente los de un conjunto F_{\sigma} de medida cero. Para funciones de I en R con discontinuidades evitables o de salto en un cierto punto de I, probamos que si tienen una discontinuidad evitable es 1-lineable, si tienen una discontinuidad de salto es 1-lineable y que el conjunto de tales funciones de I en R que o tienen una discontinuidad de salto o evitable es 2-lineable.