Estudio de dos problemas de difusión no lineal mediante soluciones autosemejantes

Resumen

En la memoria se consideran dos problemas de ecuaciones en derivadas parciales no lineales: el estudio del perfil de extinción de la solución de una ecuación del calor con absorción y la construcción de slución fuente para una ecuación de orden 4, Son dos problemas esencialmente distintos por varias razones, entre ellas, la naturaleza misma del fenómeno estudiado (en el primero, el modo preciso en el que cualquier solución de la ecuación se anula idénticamente a partir de un tiempo finito; en el segundo, la evolución -sujeta a la conservación de la masa total- de una distribución inicial de esta masa, concentrada en un solo punto). También difieren por el tipo de técnicas aplicables a una u otra ecuación. El principio máximo, por ejemplo, no es generalmente válido en la segunda. Son también muy distintos el grado de desarrollo actual de la teoría de este tipo de ecuaciones, que en el caso de la segunda queda aún muy lejos de estas completa. Hay, sin embargo, algo común a estas dos e.d.p., que es expresión del principio físico de covarianza: ambas ecuaciones están sujetas a ciertas simetrías o invarianzas por grupos de cambios de escala, lo cual resulta en la posibilidad de introducir nuevas coordenadas en las cuales el fenómeno a observar es estacionario (caso de la solución fuente) o es la aproximación a un estado estacionario (caso de los perfiles de extinción). En las coordenadas originales, este estado se muestra como una solución que se reproduce a sí misma en espacio y en tiempo (autosemejanza de la solución)..