Geometría enumerativa de superficies regladas racionales

Resumen

Las variedades de Severi de curvas planas irreducibles de grado d con delta nodos, fueron introducidas por Enriques y Severi al principio del pasado siglo, J. Harris probó que las variedades de Sevri son irredubiles y se planteó entonces calcular su grado. Desde entonces, diferentes autores han estudiado este problema que resulta también atractivo por su conexión con los invariantes de Gromov-Witten y la cohomología cuántica. En 1986 D.F. Coray y I. Vainsencher calcularon el grado de ciertos estratos de la variedad que parametriza la familia de superficies regladas cúbicas. En 2001, R. Hernández y M.J. Vázquez calcularon el grado de los estratos de cúbicas singulares en el espacio proyectivo parametrizando todas las superficies de grado d. Una de las formas de aproximar problemas enumerativos, es encontrar un espacio de parámetros adecuado para los objetos que queremos enumerar y expresar el locus de objetos satisfaciendo condiciones dadas como un cierto cero-ciclo en el espacio de parámetros. Por la propiedad universal de la Grassmanniana, podemos identificar una superficie reglada racional en espacio proyectivo con una curva racional en la Grassmanniana. Esto nos permite usar la variedad de morfismos racionales a la Grassmanniana, como un espacio de parámetros para superficies regladas racionales de grado d. Para aplicar las técnicas de intersección a un espacio de parámetros, se requiere una compactificación del mismo. El espacio de morfismos no es compacto, y usamos dos compactificaciones distintas de este espacio, la compactificación de Grothendieck del esquema Quot de cocientes de un fibrado trivial de rango 4 sobre la recta proyectiva, y la compactificación de Kontsevich de aplicaciones estables.