Anillos de series generalizadas y ecuaciones diferenciales ordinarias

Resumo

El objetivo de este trabajo es el estudio de los anillos de series de potencias con exponentes reales y de la posibilidad de usar estas series para resolver determinados tipos de ecuaciones algebraicas y diferenciales, La aparición de series con exponentes en subconjuntos bien ordenados de los números reales R o en determinados subconjuntos de conos de R^n se produce de forma natural dentro de la resolución de ecuaciones, ya sean algebraicas, diferenciales o funcionales. El primer capítulo está dedicado a la posibilidad de reducir series con exponentes -racionales con denominador acotado- en conos poliédricos a series con exponentes enteros y situados en el primer cuadrante, y ello mediante la utilización de transformaciones cuadráticas y ramificadas. El capítulo 2 está dedicado a estudiar los anillos de series con exponentes racionales en conos de R^n con denominador acotado. Los conjuntos naturales de exponentes, para mantener la estructura multiplicativa, son los subsemigrupos de (1/N)Z^n. Se estudian y utilizan técnicas de subsemigrupos. En el tercer capítulo se estudian las series derivadas de la aplicación de técnicas tipo poliedro de Newton obteniendo el anillo de series generalizadas. También se estudian las series derivadas del uso de valoraciones, obteniéndose en este caso el anillo de series de potencias largas. Se demuestra la finitud del número de vértices del poliedro de Newton relativo a las series generalizadas, y se utilizan estos resultados para hallar explícitamente soluciones de ecuaciones algebraicas o diferenciales.