Métodos de ecuaciones modificadas y técnicas de corrección asintótica para ecuaciones diferenciales ordinarias

Resumen

Se ha estudiado el método de ecuaciones modificadas para ecuaciones diferenciales ordinarias tanto para problemas de valores iniciales como para problemas de contorno, Se ha mostrado su validez con carácter asintótico utilizando ecuaciones diferenciales ordinarias de orden infinito. Se han introducido tres nuevos tipos de ecuaciones modificadas que son asintóticamente equivalentes entre si y se ha mostrado que son asintóticamente equivalentes al método numérico original. Se ha analizado la técnica de correcciones directas basadas en ecuaciones modificadas para el desarrollo de métodos numéricos de mayor orden y se han mostrado sus problemas más significativos: la falta de método de arranque consistente y la pérdida de estabilidad. Estos problemas se han resuelto introduciendo una nueva técnica de correcciones sucesivas de tipo asintótico con arranque completamente consistente, cuya consistencia global queda garantizada por la validez asintótico de las ecuaciones modificadas y cuya región de estabilidad lineal es la misma que la del método numérico original. Para problemas de contorno se han introducido ecuaciones modificadas para las condiciones de contorno y un tratamiento numérico completamente consistente para las mismas utilizando la técnica de correcciones sucesivas de tipo asintótico. Los métodos numéricos de hasta décimo orden de precisión introducidos en esta tesis, aunque son costosos de evaluar, se pueden derivar de forma automática mediante programas de álgebra simbólica y son fácilmente paralelizables de forma encauzada.