Valoración y cobertura con medidas de riesgo aplicaciones en mercados de derivados energéticos y de volatilidad

Abstract

La presente memoria consta de una introducción, siete capítulos, un apartado final de conclusiones y la relación general de referencias bibliográficas. El punto de encuentro entre todos los capítulos lo constituyen las Medidas de Riesgo, verdadero motor que impulsa, prácticamente, todos los desarrollos que vamos a exponer. Pese a que las Medidas de Riesgo sean parte común y unificadora de la memoria, hemos procurado que cada capítulo sea lo más autónomo posible. Así, cada uno de ellos contiene su propia introducción, sección de conclusiones, y referencias bibliográficas. Más aún, ideas, justificaciones y revisiones bibliográficas que nos han parecido relevantes para varios de los capítulos han sido presentadas en todos ellos. Aunque parezca que esto puede generar redundancia en la información, también es cierto que hace a los capítulos más auto-contenidos, lo que facilita la lectura para aquellos lectores sólo interesados en partes concretas de la memoria. Las modernas Medidas de Riesgo están tomando cada vez mayor relevancia en multitud de problemas actuariales y financieros. Hay multitud de razones para ello, tanto de índole teórica como aplicada. Desde el punto de vista teórico, ofrecen al menos dos ventajas sobre métodos más clásicos de medición de riesgos. Por un lado, miden el riesgo en términos monetarios (frente a enfoques más tradicionales que utilizan dispersiones o sensibilidades) lo que permite saber qué cantidad de dinero se puede perder, bajo qué escenarios y con qué probabilidad. Por otro lado, se trata de medidas que se adaptan mucho más fácilmente al complejo marco de los mercados actuales. En efecto, el hecho de que muchas sean compatibles con las dominancias estocásticas de diferentes órdenes las dan una ventaja comparativa importante frente a otras medidas como, por ejemplo, la Desviación Típica, que no lo es en presencia de asimetrías o/y colas gruesas. Asimetrías y curtosis son cada vez más frecuentes en mercados cada vez más desarrollados y complejos. A lo largo de la memoria insistiremos en estos aspectos. Desde el punto de vista aplicado también hay ventajas notables aportadas por las Medidas de Riesgo. Para cualquier gestor puede ser muy útil saber qué riesgo (qué posibles pérdidas) está asumiendo, así como qué debe hacer para amortiguarlo o cuándo y cómo debe actuar. Lo mismo ocurre con los sistemas de regulación y supervisión. Basilea II, para el sector financiero, y Solvencia II para el asegurador, son conscientes de ello, y así lo hacen constar. Más aún, la profunda y compleja crisis financiera de 2008 ha puesto de manifiesto lo importante que pueden ser regulación y supervisión y, obviamente, ninguna de las dos es posible sin un buen sistema de medición de riesgos. Por consiguiente, el primer paso para poder medir riesgos debe ser hacerlo en términos de reservas o requerimientos de capital necesarios. A continuación vamos a describir brevemente las que consideramos contribuciones más importantes de cada capítulo. Más detalles al respecto se pueden encontrar en introducción y conclusiones de cada uno de los capítulos concretos, así como, evidentemente, en los contenidos y desarrollos de los mismos. En el capítulo I abordamos el problema general de cartera con modernas medidas de riesgo. Este tema ha sido ya estudiado por numerosos autores, aunque nuestro enfoque presenta una extensión notable. En efecto, por primera vez se hace en un contexto en el que las distribuciones de los rendimientos de los diferentes activos no tienen que ser discretas, sino que pueden ser continuas o combinaciones de ambas. En este marco tan general se prueba que los problemas de optimización que resultan son completamente abordables, analítica y algorítmicamente. De hecho, se desarrollan algoritmos y se aplican al caso de dos medidas muy interesantes, como el CVaR, o VaR condicional, y la Medida de Wang. Se hace para una cartera que incorpora varios instrumentos complejos como Hedge Funds y otros, provocando fuerte asimetría y curtosis, e invalidando la varianza. Hasta donde nosotros sabemos, es la primera vez que en la literatura financiera se optimiza la Medida de Wang en un problema de inversión óptima. En el capítulo II tratamos de construir Índices de Mercado que estén relacionados con Medidas de Riesgo distintas de la Desviación Típica. Por tanto, buscamos modelos tipo CAPM que midan el riesgo de forma alternativa. Que nosotros sepamos, esto sólo ha sido hecho hasta ahora por Rockafellar et al. (2006b), pero estos autores usan dispersiones, distintas de la estándar pero que no miden riesgos en términos monetarios. Por tanto, pensamos que nuestros desarrollos pueden ser una contribución de relieve. Además, involucramos también factores que pueden influir en la evolución de los mercados, con lo que, en cierta forma, extendemos también enfoques tipo el modelo APT. El capítulo III es uno de los que nos hacen sentir más orgullosos. En él utilizamos los hallazgos del capítulo I para presentar un método de extensión de reglas de valoración en mercados incompletos y no necesariamente perfectos (es decir, permitimos la existencia de fricciones). La extensión se realiza utilizando una Medida de riesgo elegida, y genera un mejor Precio de Compra y un mejor Precio de Venta de cada nuevo activo no inicialmente replicable. Probamos que la nueva regla de valoración satisface las propiedades habitualmente exigidas en la literatura, y damos criterios y algoritmos de resolución práctica de los problemas de optimización que aparecen en las aplicaciones. Finalizamos el capítulo con dos ejemplos numéricos que consideramos de interés. Uno de ellos hace referencia a los derivados de volatilidad y varianza. En el capítulo IV abordamos un tema cuya motivación surgió al desarrollar el tercero. En efecto, puesto que alguno de los problemas de optimización que planteamos resulta no acotado, cabe preguntarse si esto es debido a la medida, a la regla inicial de valoración, o a otros elementos. Así, consideramos una Medida de Riesgo ¿ y un mercado (quizá incompleto o/y imperfecto) libre de arbitraje y con regla de valoración ¿. Ambas son compatibles si no hay estrategias alcanzables y tales que ¿(y) permanece acotado y ¿(y) se acerca a -¿. Mostramos que la falta de compatibilidad conduce a situaciones sin sentido en la práctica actuarial o financiera. Después, caracterizamos la compatibilidad mediante propiedades que conectan el Factor de Descuento Estocástico de ¿ y el subgradiente de ¿. Esto nos permite poner ejemplos muy importantes en finanzas en los que falla la compatibilidad. Por ejemplo, el CVaR no es compatible ni con el modelo de Black y Scholes ni con el CAPM. Probaremos que para un par incompatible (¿,¿) se puede construir una Medida de Riesgo Minimal M_((¿,¿) ), compatible con ¿ y tal que ¿¿M_((¿,¿) ). Particularizando para el CVaR y el CAPM, o el modelo de Black y Scholes, construimos el CVaR Compatible (CCVaR). Parece que nuestra nueva Medida de Riesgo, el CCVaR, preserva las buenas propiedades del CVaR y supera alguna de sus deficiencias. El capítulo V cambia la tónica general de los anteriores, y se centra en derivados de volatilidad y varianza. Estos derivados son cada vez más interesantes para gran número de inversores, pues permiten superar dificultades cada vez más habituales en los mercados financieros actuales. En particular, son muy útiles a la hora de diversificar riesgos, lo que es cada vez más complicado en la práctica. En efecto, la experiencia muestra que, en épocas de pérdidas significativas en los mercados, es decir, en épocas en las que más necesario sería poder disfrutar de las ventajas de la diversificación de inversiones, las correlaciones entre los distintos índices se acercan asombrosamente a uno, lo que hace poco menos que inservible a la diversificación. Lo ocurrido en el año 2008 es una pequeña prueba de ello. Por consiguiente, los mercados se esfuerzan más y más en buscar alternativas que, en efecto, permitan diversificar, y los derivados de volatilidad parecen una oportunidad de interés. Más detalles se dan en el capítulo. Con respecto a la literatura previa una de nuestras contribuciones es la aproximación de la mayor parte de los derivados de volatilidad existentes mediante carteras de infinitas opciones binarias y/o europeas. Esto ya se había hecho para el swap de varianza, y, bajo los supuestos del modelo de Heston, para el de volatilidad, pero nosotros extendemos ampliamente el análisis. La segunda contribución que consideramos importante es la valoración y cobertura de estos activos utilizando los métodos de nuestro capítulo tercero. Ello nos permite saber cuál es el error cometido al aproximar un derivado de volatilidad por una cartera de opciones, medir este error en términos monetarios (de requerimientos de capital), dar una cartera de cobertura con un gran margen de confianza, y generar precios de compra y de venta adecuados para un profesional de la intermediación financiera. En el capítulo VI hacemos una descripción de los derivados eléctricos más importantes que se negocian en el Nordpool, probablemente el más importante del mundo, y desde luego de Europa, en su especialidad. Este no es un capítulo que presente novedades desde el punto de vista de la Economía Financiera, pero hemos considerado importante su inclusión. En efecto, los derivados eléctricos presentan peculiaridades muy importantes con respecto a otros derivados financieros, y el ponerlas de manifiesto permite que el lector interesado pueda abordar el último capítulo de la memoria con mayor rigor. En el capítulo VII aplicamos las conclusiones de los capítulos III y VI para la creación sintética de derivados de volatilidad y varianza en el mercado eléctrico. Así, mediante el uso de opciones europeas (y digitales, que construimos también de forma sintética), y mediante las propiedades de la regla de valoración del capítulo III, ofreceremos precios de venta y coberturas óptimas para el swap de varianza y el de volatilidad en el Nordpool. En el capítulo mostramos, además parte del software que hemos desarrollado para ello. Finalmente, las conclusiones de la tesis son sintetizadas al final de la misma, y la última sección, de referencias bibliográficas, se limita a unir en una sola relación la lista de referencias utilizadas en cada uno de los diferentes capítulos.