Mathematical analysis and numerical methods for pricing some pension plans and mortgages

Resumen

El objetivo principal de esta tesis se centra en el análisis matemático y la solución numérica de algunos modelos de ecuaciones en derivadas parciales (EDPs) para valorar planes de pensiones con beneficios definidos e hipotecas a tipo de interés fijo. En los planes de pensiones, los beneficios por jubilación dependen del salario medio. Cuando no se permite jubilación anticipada, se plantea un problema de Cauchy asociado con un operador de Kolmogorov degenerado, en otro caso aparece un problema de complementariedad. Bajo ambas alternativas, obtenemos la existencia y unicidad de solución en los espacios funcionales adecuados. Además, si incorporamos saltos en el salario, entonces los problemas de Cauchy y de complementariedad están asociados a un operador integro-diferencial. En las hipotecas a tipo de interés fijo, consideramos las opciones de amortización anticipada e impago. Los factores estocásticos subyacentes son el tipo de interés y el valor del colateral. La valoración del contrato requiere resolver una serie de problemas de frontera libre enlazados. Los valores del seguro y de la fracción de pérdida potencial no cubierta por dicho seguro son la solución de una serie de problemas de Cauchy enlazados. Para obtener una solución numérica, se propone un método de Lagrange-Galerkin para la discretización de las EDPs, que se combina con un método iterativo de conjunto activo basado en una formulación de tipo lagrangiana aumentada para las restricciones de desigualdad. El término integral en el operador integro-diferencial se trata con técnicas de integración numérica apropiadas.