Reconstrucción escolar de la numeración para la formación de maestrosParte II: Hacia la simplificación de los algoritmos de cáculo

Résumé

En este trabajo pretendemos seguir avanzando en el estudio del problema didáctico siguiente: Dada la cuestión matemática concreta: "¿Cómo expresar los números naturales mediante una representación escrita que sea un instrumento útil para el desarrollo de la aritmética elemental?", que pretendemos sea estudiada en la institución docente que tiene como objetivo la Forma­ ción de Maestros (FM), ¿cómo diseñar y gestionar el proceso de reconstrucción (que es un proceso de estudio) en FM de la respuesta ONum = [TI T:/ 8/ 0] dada en la institución matemática sabia (IM) a dicha cuestión matemática? Denominarnos ONum a la organización matemática en tomo al sistema de numeración posicional. Postulamos que dicha reconstrucción "escolar" de ON en FM puede estar guiada por el desarrollo evolutivo de cierta problemática que proporcionará las "razones de ser" iniciales de ONnum en FM y que no tienen porqué coincidir con las "razones de ser" de ONnum. Dicha problemática y los tipos de tareas asociados (así como Las técnicas y el entorno tecnológico-teórico) deberán estar adaptados a las restricciones ecológicas que FM impone. Para abordar este problema didáctico tendremos en cuenta que, aunque el alumno de la institución FM utiliza habitualmente el sistema de numeración posicional (que constÍtuye la técnica óptima para realizar las tareas matemáticas que se le van a plantear ), desconoce las cuestiones que dan origen a dichas tareas y que generan las organizaciones matemáticas que constituyen las "razones de ser" de ON . Por ello, propondremos un.a reconstrucción. de la numeración que permita que dichas cuestiones "germinales " puedan vivir en FM. Para ello empezaremos clarif icando el significado de la cuestión matemática de partida. Esto nos llevará a considerar tres grandes categorías de istemas de numeración., que nos servirán como marco de referencia de todo el proceso de reconstrucción de la numeración. En esta primera parte del trabajo nos centraremos en el primer paso de esta reconstrucción, cuyo objet.ivo principal es la designaci6n de los números naturales. En cada una de estas organizaciones matemáticas valoraremos el alcance, la utilidad, la eficacia, la economía y la fiabilidad de las técnicas que permiten. resolver las siguientes tareas matemáticas: (1) <<¿Cómo expresar los números naturales que necesitamos mediante símbolos de manera que no haya ninguna ambigüedad>> (2) <<¿Cómo expresar los números naturales que necesitamos utilizando únicamente una pequeña cantidad de símbolos diferentes y fijados de antemano?>> (3) <<¿Cómo expresar cada número natural utilizando únicamente una pequeña cantidad de símbolos (diferentes o no)?>> (4) <<¿Cómo comparar dos números mediante sus expresiones escritas?>> (5) <<¿Cómo representar los números naturales de manera que se simplifiquen los algoritmos de las operaciones suma y resta?>> (6) <<¿Cómo representar los números naturales de manera que se simplifique el algoritmo de la operación producto?>> (7) <<¿Qué representación simplifica la divisibilidad sin complicar la suma?>> En definitiva, propugnamos que el proceso de estudio de la cuestión inicial: «¿Cómo expresar los números naturales mediante una represen­ tación escrita que sea un instrumento útil para el desarrollo de la aritmética elemental», deberá estar guiado por la actividad matemática que es posible llevar a cabo en cada una de las sucesivas organizacio­ nes matemáticas intermedias. Dejamos para un trabajo posterior la uti­ lización de la reconstrucción matemática de ONum en FM que propone­ mos aquí, para diseñar la estrategia docente ( compuesta de tareas y técnicas de ayuda al estudio) que permita al alumno de FM recorrer el camino que aquí hemos diseñado.