Bifurcación para un problema elíptico con condiciones de frontera no lineales

Pardo, Rosa

Bifurcación para un problema elíptico con condiciones de frontera no lineales

Pardo, Rosa ¹

1 Universidad Complutense de Madrid, Departamento de Matemática Aplicada, 28040, Madrid, Spain.

Revista:

Integración: Temas de matemáticas

ISSN: 0120-419X

Año de publicación: 2012

Título del ejemplar: Revista Integración

Volumen: 30

Número: 2

Páginas: 151-226

Tipo: Artículo

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Resumen

Este artículo presenta un estudio sobre bifurcación para problemas elípticos con condiciones de frontera no-lineales. Consideramos una ecuación elíptica con condiciones de frontera no-lineales dependiendo de un parámetro. Supondremos que el término no lineal es asintóticamente lineal en el inﬁnito. Cuando el parámetro cruza ciertos valores críticos (conocidos como los auto valores de Steklov) aparece un fenómeno de resonancia en la ecuación, lo que garantiza la existencia de ramas no acotadas de soluciones. Este fenómeno se conoce como bifurcación desde inﬁnito. Estudiamos las ramas de soluciones y caracterizamos cuando son subcríticas (a la izquierda del autovalor) o supercríticas (a la derecha del autovalor). Aplicamos estos resultados para obtener condiciones del tipo Landesman-Lazer, que garantizan la existencia de soluciones para el problema resonante (cuando el parámetro coincide con el autovalor). Obtenemos también un Principio del Anti-Máximo, y resultados relativos al comportamiento espectral, cuando se perturba el potencial en la frontera. Además caracterizamos el tipo de estabilidad de las soluciones en dichas ramas no acotadas. En el resto del articulo, analizamos no linealidades oscilatorias y sublineales. Centramos nuestra atención en la pérdida de condiciones del tipo Landesman-Lazer. Incluso en esta situación, demostramos la existencia de una sucesión de inﬁnitas soluciones del problema resonante y una sucesión de inﬁnitos puntos de retroceso. A continuación, analizamos los cambios de estabilidad. Incluso en ausencia de soluciones resonantes, proporcionamos condiciones suﬁcientes para la existencia de una sucesión de inﬁnitas soluciones estables, una sucesión de inﬁnitas soluciones inestables y una sucesión de inﬁnitos puntos de retroceso. También analizamos la bifurcación desde la solución trivial con una no-linealidad de tipo sublineal y oscilatorio. Finalmente establecemos una fórmula para la derivada del autovalor de Steklov localizado sobre un subconjunto de la frontera, con respecto a variaciones tangenciales del subconjunto.

Referencias bibliográficas

Citas [1] Adams R.A., Sobolev Spaces, Academic Press, New York, 1974.
[2] Amann H., Linear and Quasilinear Parabolic Problems. Abstract Linear Theory, Birkäuser
Verlag, 1995.
[3] Arcoya D. and Gamez J.L., “Bifurcation Theory and Related Problems: Anti-Maximum
Principle and Resonance”, Comm. Partial Differential Equations 5 (2001), no. 4, 557–569.
[4] Arcoya D. and Rossi J., “Antimaximum principle for quasilinear problems”, Adv.
Differential Equations 9 (2004), no. 9-10, 1185–1200.
[5] Arrieta J.M., Carvalho A.N. and Rodríguez-Bernal A., “Parabolic Problems with Nonlinear
Boundary Conditions and Critical Nonlinearities", J. Differential Equations 156
(1999), no. 2, 376–406.
[6] Arrieta J.M., Consul N. and Rodríguez–Bernal A., “Stable boundary layers in a diffusion
problem with nonlinear reaction at the boundary”, Z. Angew. Math. Phys. 55 (2004), no.
1–14.
[7] Arrieta J.M., Pardo R. and Rodríguez–Bernal A., “Bifurcation and stability of equilibria
with asymptotically linear boundary conditions at infinity”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh
Sect. A 137 (2007), no. 2, 225–252.
[8] Arrieta J.M., Pardo R. and Rodríguez-Bernal A., “Equilibria and global dynamics of a
problem with bifurcation from infinity”, J. Differential Equations 246 (2009), no. 5, 2055–
[9] Arrieta J.M., Pardo R., and Rodríguez-Bernal A, “Infinite resonant solutions and turning
points in a problem with unbounded bifurcation”, Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci.
Engrg. 20 (2010), no. 9, 2885–2896.
[10] Cañada A., “Multiplicity results near the principal eigenvalue for boundary-value problems
with periodic nonlinearity”, Math. Nachr. 280 (2007), no. 3, 235–241.
[11] Castro A. and Pardo R., “Infinitely many stability switches in a problem with sublinear
oscillatory boundary conditions”, Preprint.
[12] Castro A. and Pardo R., “Resonant solutions and turning points in an elliptic problem
with oscillatory boundary conditions”, Pacific J. Math. 257 (2012), no. 1, 75–90.
[13] Clement P. and Peletier L.A., “An anti-maximum principle for second order elliptic operators”,
J. Differential Equations 34 (1979), no. 2, 218–229.
[14] Costa D., Jeggle H., Schaaf R. and Schmitt K., “Oscillatory perturbations of linear
problems of resonance”, Results Math. 14 (1988), no. 3-4, 275–287.
[15] Crandall M.G. and Rabinowitz P.H., “Bifurcation from simple eigenvalues”, J. Functional
Analysis 8 (1971), 321–340.
[16] Dillon R. and Othmer H., “A mathematical model for outgrowth and spatial patterning
of the vertebrate limb bud”, J. Theor. Biol. 197 (1999), 295–330.
[17] Evans L.C., Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics, 19. American
Mathematical Society, Providence, RI, 1998.
[18] Frank-Kamenetskii D.A., Diffusion and heat transfer in chemical kinetics, Plenum Press,
New York, 1969.
[19] Galstyan A., Korman P. and Li Y., “On the oscillations of the solution curve for a class
of semilinear equations”, J. Math. Anal. Appl. 321 (2006), no. 2, 576–588.
[20] García-Melián J., Rossi J.D. and Sabina de Lis J.C., “Existence and uniqueness of positive
solutions to elliptic problems with sublinear mixed boundary conditions”, Commun.
Contemp. Maths. 11 (2009), no. 4, 585–613.
[21] García-Melián J., Rossi J.D. and Sabina de Lis J.C., “An elliptic system with bifurcation
parameters on the boundary conditions”, J. Differential Equations 247 (2009), no. 3, 779–
[22] Henry D., Perturbation of the boundary in boundary-value problems of partial differential
equations. London Mathematical Society, Lecture Note Series, 318. Cambridge University
Press, Cambridge, 2005.
[23] Hunt G.W., Peletier M.A., Champneys A.R., Woods P.D., Wadee M., Ahmer M., Budd
C.J. and Lord G.J., “Cellular buckling in long structures”, Nonlinear Dynam. 21 (2000)
no. 1, 3–29.
[24] Kato T., Perturbation Theory for Linear Operators, Springer-Verlag, New York, 1966.
[25] Korman P., “An oscillatory bifurcation from infinity, and from zero”, NoDEA Nonlinear
Differential Equations Appl. 15 (2008), no. 3, 335–345.
[26] Landesman E.M. and Lazer A.C., “Nonlinear Perturbations of linear elliptic problems at
resonance”, J. Math. Mech. 19 (1970), 609–623.
[27] López-Gómez J. and Sabina de Lis J.C., “First variations of principal eigenvalues with
respect to the domain and point-wise growth of positive solutions for problems where
bifurcation from infinity occurs”, J. Differential Equations 148 (1998), no. 1, 47–64.
[28] Murray J.D., Mathematical Biology, Vol. II: Spatial models and biomedical applications,
Springer-Verlag, New York, 2003.
[29] Pardo R., Pereira A.L. and Sabina de Lis J.C., “The Tangential variation of a localized
flux-type eigenvalue problem”, J. Differential Equations 252 (2012), no. 3, 2104–2130.
[30] Rabinowitz P.H., “Some global results for nonlinear eigenvalue problems”, J. Functional
Analysis 7 (1971), 487–513.
[31] Rabinowitz P.H., “On Bifurcation From Infinity”, J. Differential Equations 14 (1973),
475.
[32] Riddle R.D. and Tabin C.J., “How limbs develop”, Scientific American (1999), 54–59.
[33] Simon J., “Differentiation with respect to the domain in boundary value problems”, Numer.
Funct. Anal. Optim. 2 (1980), no. 7-8, 649–687.
[34] Wolpert L., Principles of Development, Oxford University Press, New York, 2002.
[35] Woods P.D. and Champneys A.R., “Heteroclinic tangles and homoclinic snaking in the
unfolding of a degenerate reversible Hamiltonian-Hopf bifurcation”, Phys. D. 129 (1999),
no. 3-4, 147–170

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