Cut and conjugate points of the exponential map, with applications

Resumen

En esta tesis estudiamos las singularidades de la aplicación exponencial en variedades Riemannianas y Finslerianas, y el objeto conocido en inglés como cut locus, ridge, medial axis o skeleton. En primer lugar mejoramos los resultados existentes sobre las singularidades de la aplicación exponencial y la estructura del cut locus, y después aplicamos estos resultados a los problemas de frontera para ecuaciones de Hamilton-Jacobi y a la conjectura de Ambrose. El cut locus es un objeto de interés para muchas disciplinas: geometría diferencial, teoría de control óptimo, teoría de transporte óptimo, procesamiento de imágenes, estadística y una herramienta útil en algunas demostraciones de resultados en otras disciplinas en las que el cut locus en sí no es un objeto de interés directo. Durante la primera fase recogimos resultados sobre la estructura del cut locus provenientes de muchas de estas disciplinas, encontrando resultados duplicados, y mucho desconocimiento en cada área del trabajo que sobre este objeto se hacía desde las otras disciplinas. Cuando aportamos nuestros propios resultados, tuvimos que elegir una notación que no podía ser compatible con toda la literatura existente. Nuestros resultados sobre estructura en los capítulos 3 y 4 generalizan resultados bien conocidos y demostrados muchas veces de forma independiente, que describen la estructura del cut locus excepto por un conjunto de codimensión $2$, lo que es útil para muchas aplicaciones, pero no para todas, aumentando el conocimiento del cut locus hasta codimensión 3. Estos resultados de estructura son esenciales para nuestras aportaciones a la teoría de Problemas de Frontera para Ecuaciones de Hamilton-Jacobi en el capítulo 4, donde conectamos la noción de solución de viscosidad con la solución clásica por características caracterizando el lugar singular de la primera como un cut locus, o como un balanced split locus, noción que identificamos en este trabajo aunque estaba implícito en trabajos previos. Creemos que los resultados sobre las singularidades de la aplicación exponencial del capítulo 3 podrían ser útiles para extender la demostración de la conjetura de Ambrose que aportamos a todas las métricas riemannianas. En el capítulo 5, damos una demostración nueva de la conjetura de Ambrose que cubre un conjunto genérico de variedades riemannianas, pero en el capítulo 6, pergeñamos una estrategia que podría servir para dar una demostración más general que usa de forma esencial los resultados de estructura mencionados. Esta disertación doctoral está escrita en inglés.