K-spectral sets, operator tuples and related function theory

Resumen

En esta tesis se estudian algunos aspectos de la teoría de uno o varios operadores acotados que conmutan en un espacio de Hilbert. La tesis está dividida en dos partes. En la Parte I probamos varios teoremas sobre conjuntos completamente $K$-espectrales y la semejanza a una contracción. Empleamos álgebras de Banach, una extensión de las técnicas de separación de singularidades de Havin, Nersessian y Ortega-Cerdà y algunos argumentos de teoría de operadores que están relacionados con aplicaciones completamente acotadas. La Parte II es un desarrollo de algunas ideas no publicadas de Vinnikov y Yakubovich. Se introducen varios objetos novedosos en teoría de operadores ("pools'' y "estructuras separadas''). Se muestra que estos objetos son naturales en el contexto de la teoría de tuplas de operadores que conmutan. En la Parte I consideramos un dominio finitamente conexo $\Omega \subset \C$ y una colección de funciones analíticas $\varphi_1,\ldots,\varphi_n : \overline{\Omega}\to \overline{\D}$. Imponemos unas ciertas condiciones geométricas y de regularidad a estas funciones. Si estas condiciones se cumplen, decimos que la tupla $(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)$ es admisible. La más importante de estas condiciones es que cada una de las funciones $\varphi_k$ debe mandar cierto arco de $\partial\Omega$ biyectivamente sobre un arco de $\partial \D$. Denotamos este arco como $J_k$. La unión de los arcos $J_k$, $k=1,\ldots,n$, debe cubrir toda la frontera $\partial\Omega$. Los resultados principales de la Parte I son de la siguiente forma: Si $T$ es un operador tal que $\|\varphi_k(T)\|\leq 1$ para $k=1,\ldots,n$, entonces $\overline{\Omega}$ es un conjunto completamente $K$-espectral para $T$. Probamos varios teoremas de esta forma. Las diferencias entre estos teoremas son algunas condiciones técnicas, como por ejemplo si se permite que el espectro de $T$ toque $\partial \Omega$ o no. Llamamos a las funciones $\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ funciones test, porque pueden usarse como un test de $K$-espectralidad completa para $T$, comprobando si $\|\varphi_k(T)\|\leq 1$. La Parte II está dedicada a la definición y el estudio de lo que llamamosestructuras separadas. Relacionamos estas estructuras con la teoría de Livsic y Vinnikov de tuplas de operadores no autoadjuntos que conmutan, que fue desarrollada en una serie de artículos de Livsic en los años 60. Livsic y Vinnikov definen una construcción llamada "vessel'' de operadores. Uno de los objetos importantes asociados a un vessel es su curva discriminante, que es una curva algebraica. En la literatura de la Teoría de Operadores hay por lo menos dos lugares donde aparecen las curvas algebraicas. El primero es la teoría de Livic y Vinnikov. El segundo son los trabajos de Xia y Yakubovich sobre operadores subnormales de tipo finito, donde se define cierto tipo de curva discriminante para el operador subnormal. La Parte II ofrece un marco común para estas dos teorías, las cuales parecían no tener conexión. Las construcciones de Xia y Yakubovich pueden ser escritas en términos de una estructura separada. Una relación entre estructuras separadas y vessels se obtiene por medio de la compresión generalizada, que se define en esta tesis.