CW-decompositions of plane algebraic curves and Milnor fibers of non-isolated quasi-ordinary singularities

Resumen

Esta tesis está dedicada al estudio topológico de dos objetos que vienen de la geometría algebraica: el encaje de una curva algebraica plana en el espacio afín y la fibra de Milnor de una singularidad de superficie cuasiordinaria con un par de Puiseux, junto con la acción de la monodromía asociada. La monodromía de trenzas es un invariante de las curvas algebraicas que codifica fuerte información acerca de su topología. Este invariante tiene una larga historia y su desarrollo pasa por los trabajos de Zariski, van Kampen, Moishezon y Teicher y Carmona, entre muchos otros. Un resultado de Carmona muestra que la monodromía de trenzas de una curva C determina la topología del par formado por el espacio proyectivo y C. Carmona además proporcionó un programa que calcula la monodromía de trenzas de una curva a partir de su ecuación. Sin embargo, permaneció abierto el problema de determinar en efecto esta topología. Esto es, dada la monodromía de trenzas de C, encontrar una presentación para la topología del par. En este trabajo proporcionamos tal presentación para el caso de curvas afines. La misma consiste en una descomposición CW regular del par formado por un polidisco suficientemente grande y la intersección de este polidisco con la curva. La construcción de dicha descomposición utiliza la presentación de la monodromía de trenzas como trenzas locales y trenzas conjugadas. El teorema principal sobre las curvas algebraicas afirma la buena definición de esta descomposición. También proporcionamos un programa que, a partir de una monodromía de trenzas, calcula este CW complejo explícitamente. Por tanto es posible, utilizando el programa de Carmona y el nuestro, calcular el CW complejo a partir de una ecuación de la curva. Un segundo programa transforma este CW complejo en un complejo simplicial suficientemente fino como para tomar una vecindad regular de la curva. Ambos programas están incluidos en los apéndices. El caso proyectivo también es brevemente discutido. De otra parte, el estudio topológico de los puntos singulares de hipersuperficies complejas tiene como piedra angular el trabajo de John Milnor. En su libro Singular Points of Complex Hypersurfaces es introducida una fibración, ahora conocida como la fibración de Milnor, que es un aspecto esencial de la topología alrededor de estos puntos. Dos invariantes importantes se derivan inmediatamente de ella: la fibra de Milnor y la monodromía de la fibración. La fibra de Milnor de las singularidades aisladas ha sido intensamente estudiada y es bien entendida. En el caso no aislado, sin embargo, se sabe mucho menos. Un rasgo de la fibra de Milnor de las singularidades de superficie no aisladas que ha sido objeto de considerable investigación en los últimos tiempos es su frontera. También ha sido estudiado su tipo de homotopía, y algunos resultados existen para el caso de las quasiordinarias. Todos estos resultados abarcan aspectos o propiedades topológicas de la fibra sin abordar directamente su tipo topológico. En este trabajo proporcionamos un modelo combinatorio para la fibra de Milnor de las singularidades cuasiordinarias de superficie con un par de Puiseux. Este modelo es construido a través de una serie de pasos. Primero construimos una descomposición CW del par formado por un polidisco suficientemente grande y su intersección con la curva discriminante de la fibra de Milnor. Entonces, por medio de cubiertas ramificadas, levantamos esta descomposición en una descomposición CW de la fibra compacta. También proveemos otro modelo para la misma fibra como un pegado cíclico de bolas de dimensión cuatro a lo largo de ciertos toros sólidos. Estudiando las transformaciones de cubierta de la fibra calculamos la monodromía geométrica de la fibración de Milnor, y los grupos de homología complejos de la fibra de Milnor compacta. También calculamos el grupo fundamental y los grupos de homología enteros de la fibra de Milnor compacta.