Symmetries in topological tensor network statesclassification, construction and detection

  1. Garre Rubio, Jose
Dirigida por:
  1. Sofyan Iblisdir Director
  2. David Pérez García Director

Universidad de defensa: Universidad Complutense de Madrid

Fecha de defensa: 14 de noviembre de 2019

Tribunal:
  1. Ignacio Villanueva Díez Presidente
  2. Carlos Palazuelos Cabezon Secretario
  3. Román Óscar Orús Lacort Vocal
  4. Frank Pollmann Vocal
  5. María Del Carmen Bañuls Polo Vocal
Departamento:
  1. Análisis Matemático Matemática Aplicada

Tipo: Tesis

Resumen

Los estados de redes tensoriales describen estados cuánticos de muchos cuerpos de forma local. Estos estados aproximan eficientemente los estados de baja energía de sistemas con interacciones locales y con gap además de describir exactamente estados cuánticos de muchos cuerpos de enorme importancia (aquellos que son puntos fijos de un proceso de renormalización). Los estados de redes tensoriales constituyen una herramienta analítica muy valiosa para el estudio de sistemas fuertemente correlacionados. En esta tesis analizamos redes tensoriales que describen fases cuánticas que albergan un tipo de order no local: el orden topológico. Uno de los aspectos más importantes de un sistema con orden topológico es la existencia de excitaciones de cuasipartículas con propiedades inusuales bajo intercambio que difieren tanto de los bosones o fermiones. Estas excitaciones, denominadas anyones, emergen como un comportamiento colectivo de los constituyentes del sistema y pueden transformase de forma no trivial bajo las simetrías globales del sistema. Resulta que el sector de baja energía de algunos modelos topológicos, incluidos los anyones, tienen una descripción en términos de estados de redes de tensores. Además, el orden topológico, una propiedad global, se codifica localmente como una simetría en los tensores individuales. Esta codificación es crucial debido a que cuando una estructura local que caracteriza una propiedad local es identificada matemáticamente, uno puede centrarse en esa familia de estados de redes tensoriales para estudiar sistemáticamente sus propiedades. En este sentido, los estados de redes tensoriales surgen como el marco formal para trabajar en la física de muchos cuerpos. El objetivo de esta tesis es contribuir a la clasificación de redes de tensores topológicas en dos dimensiones con simetrías. Una cuestión importante, relacionada con la caracterización local de simetrías globales, es cómo caracterizar la relación que existe entre tensores que describen el mismo estado de red tensorial y que, por ende, deberían considerarse equivalentes. En esta tesis obtenemos esta relación para algunas clases de estados de redes de tensores previamente estudiados, inyectivos y normales, mejorando los resultados existentes relajando algunas hipótesis. Además, probamos esta relación para estados de redes tensoriales que describen fases topológicas, donde ningún resultado previo existía. Concretamente, lo probamos para la familia que describe los modelos dobles cuánticos de un grupo finito, los denominados PEPS G-inyectivos. Una vez tenemos este teorema, se pueden caracterizar y clasificar simetrías globales que actúan localmente en cada sitio de la red. Clasificamos simetrías globales que actúan de forma local, provenientes de un grupo finito Q, en PEPS G-inyectivos. Obtenemos un número finito de clases para cada par (Q,G). Esta clasificación está relacionada con las posibles extensiones de grupo, E, de G por Q. Además, proporcionamos un método para construir un representante de cada clase, concluyendo que nuestra clasificación es completa. Los representantes también se construyen usando la teoría de extensiones de grupo, empezando por una representación de la extensión E y restringiendo localmente el tensor a los elementos de G. Este representante está dado en una forma de punto fijo de renormalización, lo que facilita la obtención de todas las propiedades de la fase cuántica. Debido a que un sistema con orden topológico y simetría estará lejos de ese representante, es necesario un método para detectar la fase. Nosotros resolvemos ese problema proponiendo unos invariantes de la fase y sus correspondientes parámetros de orden para detectar el patrón de fraccionalización de la simetría en un estado determinado. Los parámetros de orden propuestos capturan la fase mediante la detección de cantidades invariantes en la extensión de grupo. Concluimos la tesis formulando algunas preguntas matemáticas abiertas en el campo de los PEPS.