Invariants of singularities, generating sequences and toroidal structures

Resumen

En las últimas décadas, los ideales multiplicadores y sus números de salto asociados se han convertido en una herramienta importante en el campo de la geometría birracional de variedades algebraicas complejas y en teoría de singularidades. En esta Tesis Doctoral se describen los ideales multiplicadores y números de salto asociados a un germen irreducible de hipersuperficie quasi-ordinaria y también a una singularidad de curva plana. El enfoque está basado en un teorema de Howald que describe los ideales multiplicadores de una singularidad de hipersuperficie Newton no degenerada en términos de su poliedro de Newton. Generalizamos el resultado de Howald usando la existencia de una resolución sumergida toroidal para estas singularidades. La estructura de estas resoluciones viene determinada por el tipo topológico sumergido de estas singularidades. El método pasa por describir minuciosamente las sucesiones generatrices asociadas a las valoraciones divisoriales correspondientes a los divisores primos excepcionales en la resolución toroidal sumergida. El resultado principal en ambos casos es que los ideales multiplicadores están generados por monomios generalizados en las curvas de contacto maximal, también llamadas semiraíces, y sus generalizaciones en el caso de hipersuperficies quasi-ordinarias. Como aplicación de este estudio, obtenemos algoritmos para calcular bases de los ideales multiplicadores y el conjunto de números de salto. Over the last few decades, multiplier ideals and their associated jumping numbers have become an important topic in the field of birational geometry of complex algebraic varieties and in singularity theory. In this PhD Thesis we describe the multiplier ideals and the jumping numbers associated with an irreducible germ of quasi-ordinary hypersurface and also with a plane curve singularity. The approach is motivated by a theorem of Howald describing multiplier ideals a Newton non-degenerate hypersurface singularity in terms of a Newton polyhedron. We prove a version of Howald¿s result by using that one has toroidal embedded resolutions for these singularities. The structure of these resolutions is determined by the embedded topological type. The method passes by a precise description of the generating sequences associated with the divisorial valuations associated with the exceptional prime divisors appearing in their toroidal embedded resolutions. The main result in both cases is that multiplier ideals are generated by generalized monomials in the maximal contact curves, also called semi-roots, and their generalizations in the quasi-ordinary hypersurface case. As an application of this study, we obtain algorithms to compute basis of the multiplier ideals and the set of jumping numbers.