On some conjectures in singularity theory

Resumen

Esta tesis está dedicada al estudio de puntos singulares de curvas planas. En concreto, proporcionamos contraejemplos a algunas de las conjeturas que han surgido a raíz de la investigación de las singularidades de dichas curvas. Tratamos dos temas principales: - La conjetura de la monodromía de J. Denef y F. Loeser y su generalización por A. Némethi y W. Veys. - Curvas planas libres y casi-libres con singularidades aisladas, y algunas conjeturas relacionadas propuestas por A. Dimca y G. Sticlaru. La conjetura de la monodromía fue demostrada para curvas planas por F. Loeser en [Loe88], y extendida más tarde para funciones zeta asociadas a formas diferenciales arbitrarias por W. Veys. Posteriormente A. Némethi y W. Veys introdujeron el conjunto de formas diferenciales permitidas, que contiene a la forma diferencial estándar. En este contexto, cabe preguntarse si podría existir otra forma diferencial definida de manera natural permitida. Una elección podría ser la forma diferencial hessiana, pues los polos de la función zeta asociada a esta forma diferencial dan lugar a autovalores de la monodromía en numerosos ejemplos. No obstante, en el Capítulo 3 se demuestra que la hessiana no es una forma diferencial permitida. En esta tesis se han estudiado además algunas conjeturas relacionadas con las curvas planas libres y casi-libres. El concepto de divisor libre fue introducido por K. Saito [Sai80]. Desde entonces han aparecido aplicaciones interesantes e inesperadas a la Teoría de Singularidades y a la Geometría Algebraica. En esta tesis nos centraremos principalmente en las curvas proyectivas planas complejas. Las curvas casi-libres fueron introducidas por A. Dimca y G. Sticlaru en [DS18a]. Tienen propiedades similares a las de las curvas libres y, junto con estas últimas, pueden llevar a una nueva interpretación de las curvas racionales cuspidales. Los resultados principales de A. Dimca y G. Sticlaru en [DS17], [DS15] y [DS18a] y diversas familias de ejemplos motivaron las siguientes conjeturas: (1) Toda curva racional cuspidal plana es o bien libre o bien casi-libre. (2) Toda curva plana irreducible que sea libre o casi-libre es racional. (3) Toda curva plana irreducible libre tiene singularidades con, a lo sumo, dos ramas. (4) Toda curva plana irreducible casi-libre tiene singularidades con, a lo sumo, tres ramas. A. Dimca y G. Sticlaru han publicado varios resultados que respaldan la Conjetura (1). Sin embargo, en el capítulo 5 se dan ejemplos de curvas irreducibles libres y casi-libres en el plano proyectivo complejo que no son racionales, proporcionando así contraejemplos a la Conjetura (2). Damos también algunos ejemplos de curvas irreducibles libres y casi-libres cuyos dos puntos singulares tienen un número impar de ramas, obteniendo contraejemplos a las Conjeturas (3) y (4). Una de las herramientas fundamentales a la hora de encontrar estos contraejemplos han sido las cubiertas de Kummer. Se presenta también una curva irreducible casi-libre con un único punto singular de cuatro ramas: otro contraejemplo para la Conjetura (4). Esta curva se construye como el elemento genérico del único sistema lineal de dimensión 1 asociado a una cierta curva plana racional unicuspidal de grado 49. REFERENCIAS: [Loe88] F. Loeser. Fonctions d'Igusa p-adiques et polynômes de Bernstein. Am. J. Math., 110(1):1-21, 1988. [Sai80] K. Saito. Theory of logarithmic differential forms and logarithmic vector fields. J. Fac. Sci., Univ. Tokyo, Sect. I A, 27:265 - 291, 1980. [DS15] A. Dimca and G. Sticlaru. Nearly free divisors and rational cuspidal curves. Preprint. arXiv:1505.00666v3, 2015. [DS17] A. Dimca and G. Sticlaru. Free divisors and rational cuspidal plane curves. Math. Res. Lett., 24(4):1023 - 1042, 2017. [DS18a] A. Dimca and G. Sticlaru. Free and nearly free curves vs. rational cuspidal plane curves. Publ. Res. Inst. Math. Sci., 54(1):163 - 179, 2018. 121003 VARIEDADES DIFERENCIALES 120101 GEOMETRIA ALGEBRAICA