Distribuciones de probabilidad alternativas para la gestión de riesgo en mercados financieros

Resumen

Esta tesis se constituye de seis Capítulos y está organizada de la siguiente manera: el primer Capítulo tiene carácter introductorio al tema, se presentan los aspectos preliminares de la investigación, incluyendo los elementos básicos de la teoría financiera. El Capítulo se divide en dos temas: los modelos de valoración de derivados y los cálculos del VaR y CVaR. Adicionalmente en este Capítulo se introducen las familias de distribuciones que se usarán en sus formas estándar con media cero y varianza uno, y se presentan algunas de sus propiedades estadísticas teóricas. Estas familias de distribuciones presentan la ventaja de ser muy flexibles y de ilustrar muchas propiedades de interés en el análisis de las edf's asociadas a los datos, tales como la unimodalidad, el tipo de sesgamiento (positivo o negativo) y la curtosis. Las distribuciones de colas pesadas recogen de manera más adecuada estas propiedades, lo cual permite obtener mejores estimaciones para el cálculo del VaR. En el Capítulo 2, se presenta una generalización de la distribución g-h de Tukey, suponiendo que la transformación propuesta por Tukey se realiza a una distribución de error generalizada (GED), esto permite que sea muy flexible. Se encuentra una fórmula de conexión entre los momentos ordinarios de esta nueva distribución y el teorema de convolución en la frecuencia de Fourier, procedimiento que es novedoso ya que, aunque existía una demostración constructiva para los momentos ordinarios cuando la variable aleatoria de la transformación de Tukey es normal estándar, se encontró un método diferente para obtener los momentos en otros casos. Los resultados de este Capítulo, bajo el título A generalization of Tukey's g-h family of distributions, fueron publicados en el Journal of Statistical Theory and Applications. Los Capítulos 3 y 4, se dedican a los precios de opciones, los cuales están motivados por las expansiones de Gram-Charlier y Edgeworth. Estas series han sido utilizadas en el campo de las finanzas para incorporar la existencia de asimetría y colas pesadas, y permitieron obtener fórmulas alternativas al modelo de valoración de opciones de Black-Scholes. En estos dos Capítulos, se asume apriori la distribución de probabilidades que describe el comportamiento del precio (retorno) futuro de la acción y a partir de este supuesto se obtienen fórmulas cerradas para valorar opciones. Usando la generalización previamente obtenida para la distribución g-h de Tukey, en el Capítulo 3, se proponen nuevas fórmulas analíticas de valoración de opciones suponiendo que el activo subyacente se puede modelar mediante esta familia de distribuciones. Estas fórmulas para determinar los precios de compra y venta de opciones europeas son cerradas e involucran funciones hipergeométricas, como caso particular se obtiene la fórmula de valoración de Black & Scholes (1973). El modelo de valoración de opciones que se encuentra usando esta familia de distribuciones involucra el sesgo y el exceso de curtosis, los precios de opciones obtenidos con este modelo se comparan numéricamente con los que se encuentran usando el modelo de valoración dado en Jarrow & Rudd (1982) que también incluye el sesgo y la curtosis del precio del activo. Los resultados obtenidos fueron publicados en el International Journal of Financial Markets and Derivatives bajo el título Option pricing based on the generalised Tukey distribution. Asimismo, se obtiene una expresión analítica para los parámetros de cobertura (o Griegas), que no presentan las anomalías de otros modelos de valoración semiparamétricos. En el Capítulo 4, se obtienen resultados similares a los del tercer capítulo que permiten valorar opciones. Para establecer la nueva fórmula de valoración se supone que el retorno del activo subyacente sigue una mixtura de distribuciones normales-sesgadas (skew-normal). Es decir, el precio del activo subyacente se modela mediante una mixtura de distribuciones log-normales-sesgadas (log-skewnormal). Las expresiones obtenidas en esta tesis permiten deducir los modelos de precios de opciones dados en Bahra (1997), Black & Scholes (1973) y Corns & Satchell (2007), como casos particulares. La distribución normal sesgada tiene un parámetro que controla el sesgo y que influye de manera directa en el coeficiente de curtosis. El modelo de valoración obtenido se ajusta a datos del mercado y se compara con los precios de opciones que se encuentran mediante Corrado & Su (1996, 1997) que también involucra el sesgo y la curtosis del retorno del activo. El Capítulo 5 se dedica al estudio del Valor en Riesgo (VaR). Dado que esta medida de riesgo no cumple con los axiomas de coherencia establecidos por Artzner et al. (1997), se revisa otra medida de riesgo que cumpla estos axiomas y por ello, se trabaja con una medida más consistente, el Valor en Riesgo Condicional (CVaR), discutida por Rockafellar & Uryasev (2002). Debido a que en el cálculo del VaR, se da poca importancia a las pérdidas extremas, una solución dada en Zangari (1996) es incluir estos valores extremos mediante la expansión de Cornish-Fisher (CF). Empleando las metodologías de CVaR y CF, se establece una fórmula que permite calcular el CVaR usando la aproximación CF. Adicionalmente, se encuentra una fórmula cerrada para calcular VaR y CVaR, suponiendo que la distribución del activo sigue la distribución g-h de Tukey y se comparan las estimaciones del VaR y CVaR con otros modelos estándar del mercado (normal, histórico, aproximación Cornish-Fisher). Se muestra la mejora de las medidas de riesgo VaR y CVaR bajo el modelo planteado. Cada uno de los resultados mencionados constituye un aporte original. Se ha publicado parte de los resultados obtenidos en este capítulo en el Journal of Risk bajo el título Using Tukey's g and h family of distributions to calculate value-at-risk and conditional value-at-risk. Además, en este capítulo suponiendo que la distribución del activo sigue otras distribuciones conocidas (t-student, valor extremo) se presentan modelos univariados para calcular VaR y CVaR. En el Capítulo 6, se presentan las conclusiones de esta tesis, los principales aportes realizados y algunos de los futuros trabajos de investigación que se derivan de la tesis doctoral.