Closed G2 forms and special metrics

Resumen

En esta tesis se aborda el estudio y construcci¿n de variedades G2 calibradas. Una tal variedad es una variedad de Riemann, de dimensi¿n 7, con una m¿trica de Riemann definida por una cierta 3-forma diferencial, denominada G2 forma, la cual no s¿lo es invariante por la acci¿n del grupo excepcional G2 sino que tambi¿n es cerrada y, por lo tanto, define una calibraci¿n en el sentido de Harvey y Lawson. Los dos primeros cap¿tulos de esta memoria se dedican a la construcci¿n de nuevos ejemplos de esas variedades, tanto en el caso compacto como no-compacto. En particular, mostramos que el mapping torus de un difeomorfismo de una variedad half-flat simpl¿ctica, tal que la estructura half-flat es preservada por el difeomorfismo, es una variedad G2 calibrada. En los cap¿tulos 3 y 4 estudiamos la existencia de m¿tricas especiales (Einstein y Ricci solitones) determinadas por G2 formas cerradas. Por una parte, sabemos que el comportamiento del tensor de Ricci de la m¿trica inducida por una G2 forma est¿ estrechamente relacionado con el comportamiento de la propia G2 forma. En particular, Cleyton e Ivanov probaron que ninguna variedad compacta, de dimensi¿n 7, admite una estructura G2 calibrada tal que la m¿trica inducida sea Einstein, salvo que la G2 forma sea tambi¿n cocerrada y, por lo tanto, el grupo de holonom¿a de la m¿trica es un subgrupo de G2. En el cap¿tulo 3 exploramos la versi¿n no compacta de este resultado, obteniendo un resultado equivalente para variedades (no compactas) resolubles.En el ¿ltimo cap¿tulo, determinamos las nilvariedades compactas que poseen una G2 forma calibrada induciendo un nilsolit¿n. Para cada una de esas variedades, estudiamos el flujo Laplaciano, y mostramos los primeros ejemplos compactos tales que la soluci¿n del flujo Laplaciano est¿ definida en un intervalo no acotado.