Densificación en espacios de Banach y su relación con las medidas de no-compacidad

Resumen

En 1997 fue introducido el concepto de curva alfa-densa, con el objetivo de resolver problemas de optimización de funciones continuas de n variables definidas en un conjunto apropiado (habitualmente un conjunto acotado y convexo) del espacio euclídeo n-dimensional. Para ello, se ha demostrado que componiendo la función objetivo del problema de optimización dado con una curva alfa-densa, el mínimo absoluto de esta composición (que resulta ser una función de un única variable) difiere el mínimo absoluto de la función objetivo en una cantidad arbitrariamente pequeña prefijada y que depende de la curva alfa-densa y de la función objetivo. Este método se ha ido mejorando para hacerlo más eficiente. No obstante, en un espacio de Banach de dimensión infinita, pongamos X, el método descrito en el párrafo anterior no es válido ya que los conjuntos acotados y convexos de X no son, en general, precompactos para la topología de la norma. Por este motivo fue necesario la definición y estudio de un nuevo tipo de curvas para la resolución de determinados problemas de optimización en X, a saber, las curvas V-densas. Tales curvas juegan un rol totalmente análogo a las curvas alfa-densas en el caso finito-dimensional. La clave del desarrollo de las curvas V-densas es el hecho de que en X los conjuntos acotados sí son precompactos respecto a la topología débil. En la presente tesis analizaremos nuevos métodos para aproximar, con error controlado y arbitrariamente pequeño, las soluciones de ciertos problemas en dimensión infinita. Para ello, nos basamos en las curvas alfa-densa y V-densas y seguimos la misma idea de reducir el número de variables del problema a una sola, como en el caso finito-dimensional antes comentado. Por otro lado, las curvas alfa-densas generan un grado de no-densificación, que no es una medida de no-compacidad pero que si lo extendemos a la envoltura convexa de los conjuntos acotados de un espacio de Banach genera una medida de no-compacidad. Dicha medida de no-compacidad generada a partir del grado de no-densificación (y en particular, basada en las curvas alfa-densas) tiene la propiedad de acotar superiormente a cualquier otra medida de no-compacidad. En particular, tal cota es la mejor posible en espacios de Banach de dimensión infinita para la bien conocida medida de no-compacidad de Hausdorff. Estos resultados han sido publicado en la revista “Journal of Convex Analysis” (cf. [39] en la bibliografía adjunta). Asimismo, introducimos una nueva medida de no-compacidad débil, la cual tiene la propiedad de acotar de forma óptima a la bin conocida medida de no-compacidad de De Blasi. La clave para definir esta nueva medida de no-compacidad la encontramos en un grado de densificación (respecto a la topología débil) generado por un nuevo tipo de curvas que, previamente, hemos definido y que hemos llamado curvas totalmente lambda-densas. Finalmente, analizamos algunos teoremas clásicos de punto fijo, a saber, los teoremas de punto fijo de Banach, Schauder y Darbo-Sadovskii. Además, hemos probado algunos nuevos resultados sobre punto fijo basándonos en las curvas alfa-densas, y más concretamente en el grado de no-densificación generado por éstas. Incluso hemos generalizado los conceptos de aplicación no-expansiva y k-contractiva, gracias a dicho grado de no-densificación. De esta forma, queda evidenciado que el grado de no-densificación generado por las curvas alfa-densas resulta ser una herramienta útil en el estudio y análisis del concepto de compacidad, y en particular, en la existencia de puntos fijos de ciertas aplicaciones en espacios de Banach dimensión infinita. Además, hemos encontrado una nueva sucesión (o “iteración”, como se le llama en este contexto), basada en curvas alfa-densas, que converge (bajo ciertas condiciones) a un punto fijo de una aplicación dada. Desarrollo teórico La metodología que hemos seguido en esta tesis es, a modo de esquema, la siguiente: (1) Estudio previo de los precedentes bibliográficos relacionados con los temas a tratar. (2) Continuación del estudio y de las aplicaciones ya existentes de las curvas alfa-densas y V-densas, proponiendo y demostrando nuevos resultados relacionados con los problemas de optimización. (3) Desarrollo de nuevas aplicaciones de las curvas alfa-densas y V-densas en otras áreas distintas a las ya existentes, como las medidas de no-compacidad y la teoría del punto fijo, previo estudio de artículos ya publicados en dichas áreas. La gran mayoría de los resultados que exponemos requieren, para sus correspondientes demostraciones, de conceptos básicos de Topología y Análisis Funcional aunque ciertamente la clave en tales pruebas se encuentran en las propiedades de los distintos tipos de curvas comentados en la introducción. Conclusión Durante estos años, en la elaboración de la presente tesis, llegamos a la conclusión que las curvas alfa-densas y V-densas, así como los distintos grados de no-densificación generados por éstas, constituyen una herramienta útil en el estudio del concepto de compacidad. Este hecho queda evidenciado en la presente tesis, por un lado, con la relación directa de las medidas de no-compacidad con tales grados de no-densificación, y por otro lado, el papel de dicho grado de no-densificación dentro de la Teoría del Punto Fijo. En un futuro, pensamos seguir con el estudio de las curvas alfa-densas y V-denas como herramienta para probar la existencia de soluciones de puntos fijos de ciertas aplicaciones. Asimismo, pensamos que puede interesante encontrar nuevas aplicaciones de las curvas alfa-densas, relacionadas con los fractales o las sucesiones equidistribuidas. Finalmente, cabe decir que además de las aplicaciones expuestas en estas notas sobre las curvas alfa-densas, también hemos hallado un método para aproximar la dimensión logarítmica de objetos multidimensionales.