Superficies de Riemann con morfismos p-gonales irregulares

Resumen

Las superficies de Riemann han sido un campo fructífero de investigación desde su introducción hace más de 150 años. Además de su importancia en distintas partes de la matemática, el estudio de sus grupos de automorfismos constituye un activo campo en sí mismo. Los trabajos de Wilkie y Macbeath en 1966 y 1967 sobre los grupos cristalográficos no euclídeos (grupos NEC) permitieron a Alling y Greenleaf iniciar el estudio sistemático de las superficies de Klein, que pueden considerarse una generalización de las superficies de Ríemann. Las superficies de Klein pueden tener borde no vacío y pueden ser no orientables. Varios grupos de investigación en diferentes universidades españolas han estudiado extensivamente a lo largo de los últimos 35 años las propiedades geométricas de las superficies de Ríemann y de Klein y los grupos de automorfismos de muchas familias de estas superficies. La tesis realizada por Ismael Cortázar se inscribe en este campo. La tesis está dividida en seis capítulos, siendo los dos primeros de presentación de los conceptos y resultados previamente conocidos, necesarios para el resto de la tesis. En el capítulo 3, el autor aborda el método de Reidemeister-Schreier para la obtención de subgrupos adaptándolo al caso que le interesará después, obtención de subgrupos de grupos fuchsianos y grupos NEC, realizando una reescritura del método de esos autores. En el capítulo 4, el autor clarifica los métodos de Singerman y Hoare aplicando los resultados del capítulo anterior. Los resultados nuevos aparecen en los capítulos 5 y 6, que han dado lugar a sendas publicaciones. En el capítulo 5 se estudian las superficies p-gonales diédricas reales. Las superficies de Ríemann habían sido muy estudiadas cuando son cubiertas regulares de la esfera de Riemann. En esta tesis se estudia un tipo especial de cubiertas no regulares: cuando el grupo de monodromía es isomorfo al grupo dihédrico (o dihedral) Dp, con p > 2 primo, y la superficie X admite una involución anticonforme 't' que es un levantamiento de la conjugación compleja. Las superficies X/<'t'> se denominan superficies de Ríemann reales. Estas superficies pueden denominarse también superficies de Klein con borde. El autor encuentra condiciones numéricas que restringen los posibles valores del género topológico g y del número k de componentes en el borde de estas superficies. Paralelamente, el autor estudia las superficies en las que la involución anticonforme es un levantamiento de la aplicación antipodal. En este caso la superficie X/<'t'> es no orientable sin borde y se encuentran condiciones numéricas sobre el género g. En el último capítulo, se aborda el estudio de las superficies de Ríemann que tienen más de un morfismo n-gonal. Se sabía que si n es un número primo y el género de la superficie satisface que g > (n - 1 i entonces el morfismo n-gonal, si existe es único. En este capítulo se hace uso de cálculos con ordenador y se presentan ejemplos concretos de superficies de Ríemann de género máximo con varios morfismos p-gonales (p = 3 y 5). Después se construyen ejemplos de familias de superficies con dos morfismos pgonales para cualquier primo p > 2, con el género máximo dado permitido por la desigualdad anterior (desigualdad de Accola). Finalmente, se construyen familias de superficies con dos morfismos n-gonales cuando n no es primo y género no acotado. En mi opinión, los resultados obtenidos son interesantes y el autor muestra capacidad para abordar y resolver problemas en este campo de investigación. Conoce y cita la literatura relevante y tiene experiencia en el manejo de software matemático -tanto de propósito general, como especializado en teoría de grupos- para realizar los cálculos necesarios para obtener resultados teóricos y construir ejemplos concretos. Quizá por influencia de su formación previa como ingeniero, en algunas ocasiones la notación empleada y el modo de expresarse difiere ligeramente de la estándar. Pienso que a partir de los resultados obtenidos aquí, Ismael Cortázar puede emprender futuras investigaciones, tanto de problemas similares a los abordados aquí, como de otros relacionados con éstos, sobre las superficies de Riemann y de Klein y sobre los grupos fuchsianos y NEC.