Reducción de principios variacionales con simetría y problemas de control óptimo de Lie-Scheffers-Brockett

Resumen

En la presente memoria se abordan diversos aspectos relativos al estudio de principios variacionales con simetría. Presentamos un análisis geométrico de la noción de variables de Clebsch y ligaduras de Lin que constituyó una de las primeras ideas para abordar estos problemas. El análisis presentado aquí extiende y completa el estudio de dicho problema iniciado por Cendra, Ibort y Marsden en 1986. La misma idea geométrica subyacente al análisis de estas variables y ligaduras, permite entender a su vez la relación de reciprocidad establecida por Bloch, Holm, Marsden y Brockett en 2000 entre ciertos problemas de control óptimo y sistemas mecánicos lagrangianos con simetría. Esta noción de reciprocidad es analizada y extendida a una clase interesante de problemas de control que se han denominado de Lie-Scheffers-Brockett. Finalmente se ha realizado un análisis de la reducción de problemas de control óptimo desde la perspectiva de la teoría de estructuras de Dirac iniciada por Yoshimura y Marsden en 2007 obteniéndose el correspondiente principio reducido de Hamilton-Pontryagin y una versión reducida del principio del máximo de Pontryagin. Las ideas anteriores se han aplicado a un cierto número de ejemplos y en particular, a un problema de control cuántico.