Embedded q-resolutions and yomdin-lê surface singularities

Resumen

El objetivo principal de la tesis doctoral es estudiar invariantes topológicos y algebraicos de las singularidades de Yomdin-Lê utilizando Q-resoluciones encajadas. La diferencia esencial de esta clase de resoluciones reside en permitir que el espacio ambiente contenga singularidades cocientes, simplificando de esta manera la complejidad combinatoria del divisor excepcional. Para ello hemos tenido que fijar un marco teórico en el que se han generalizado resultados clásicos de teoría de singularidades y geometría algebraica de espacios lisos al caso en el que se admiten singularidades cocientes. Destacamos el estudio de espacios proyectivos y explosiones ponderadas, teoría de intersección racional, fórmula de A'Campo con singularidades cocientes y estudio de la estructura de Hodge mixta de la cohomología de la fibra de Milnor mediante la adaptación de la sucesión espectral de Steenbrink al caso cociente. El marco teórico obtenido se aplica al estudio de las singularidades superaisladas y de Yomdin-Lê (ponderadas y clásicas). Finalmente, se atacan contenidos más algorítmicos ligados al polinomio de Bernstein-Sato de una singularidad mediante bases de Gröbner en anillos no conmutativos. -------------------------------------------------- The main aim of this PhD thesis is to study topological and algebraic invariants associated with Yomin-Lê singularities using embedded Q-resolutions. The main difference in this kind of resolutions is that we allow the ambient space to contain quotient singularities, thus simplifying the combinatorial complexity of the exceptional divisor. To do so, we have created a theoretical framework in which classical results about singularities and algebraic geometry of smooth spaces are generalized to the quotient singular case. We emphasize the study of weighted projective spaces, weighted blow-ups, rational intersection theory, A'Campo's formula with quotient singularities, and the mixed Hodge structure on the cohomology of the Milnor fiber adapting the spectral sequence by Steenbrink to the quotient case. This framework obtained applies to the study of superisolated singularities and (weighted) Yomdin-Lê singularities. Finally, the computation of the Bernstein-Sato polynomials by means of non-commutative Gröbner bases is considered.