Bases completas de polinomios de zernike discretos. Aplicaciones en óptica y visión

Resumen

BASES COMPLETAS DE POLINOMIOS DE ZERNIKE DISCRETOS. APLICACIONES EN ÓPTICA Y VISIÓN INTRODUCCIÓN Los polinomios de Zernike (PZ) son de gran utilidad en la óptica, porque forman una base ortogonal completa en un círculo de radio unidad. Debido a que muchos instrumentos ópticos tienen una simetría circular y pupilas circulares, la expansión en PZ se puede utilizar para describir cualquier función en el plano de la pupila, en particular, la fase del frente de onda o aberración de onda. Por ello tienen mucho interés en aplicaciones como el diseño óptico [1], medidas de calidad óptica [2], sensores de frente de onda [3,4,5], óptica adaptativa [6,7], interferometría [9,10,11], metrología de superficie (profilometría, topografía) [12, 13] y óptica atmosférica [14] entre otros. La descripción modal en base a PZs ha tenido mucho éxito en todos estos campos de aplicación. Hoy en día los polinomios de Zernike están presentes en tecnologías actuales usadas en oftalmología, telescopios, software de diseño y simulación óptica, etc. A pesar de la importancia de la base de los polinomios de Zernike, ésta presenta varios inconvenientes en aplicaciones prácticas. El problema más importante es que en aplicaciones reales no se usan los polinomios en forma analítica sino versiones discretas dado que se trabaja con redes de muestreo (cuadradas, exagonales, etc.) Una vez muestreados. La base de PZs pierde sus dos propiedades más importantes, es decir deja de ser completa y ortogonal. Otro problema adicional es que en muchas aplicaciones se basan en reconstruir el frente de onda integrando a partir de las derivadas parciales de los PZs, pero las derivadas parciales discretas tampoco son completas ni ortogonales. OBJETIVOS El objetivo de esta tesis es buscar soluciones a estos problemas, validando los resultados teóricos mediante simulaciones numéricas realistas y finalmente en al menos una aplicación real. Este objetivo general se desglosa en los siguientes aspectos u objetivos concretos: 1. La primera parte de la tesis tiene como objetivo estudiar bajo que condiciones es posible obtener una base completa y ortogonal de PZ discretos, y a partir de dicha base, implementar una transformación invertible discreta de Zernike. De esta forma se puede trabajar con el mismo número de muestras (puntos I) que de modos (coeficientes) de Zernike y poder pasar de un dominio a su transformado de forma exacta. Esto es totalmente distinto al método estándar que se basa en sobremuestrear ampliamente el frente de onda para obtener los modos de Zernike mediante mínimos cuadrados. 2. En la segunda, se pretende extender estos resultados a la formulación compleja de los PZs. La idea es que en los PZs complejos forman a su vez una base completa y ortogonal para representar funciones complejas y en particular la función pupila compleja, es decir la amplitud y fase del frente de onda, que puede ser de interés para pupilas de transmisión no uniforme (apodización) o en el caso del ojo humano (efecto Stiles-Crawford) 3. Muchas de las aplicaciones se basan en la reconstrucción del frente de onda a partir de su gradiente (derivadas parciales). El objetivo es verificar si es posible extender los resultados del punto 1 a la base formada por las derivadas de los PZs. En este caso, dado que hay dos medidas por cada punto, si la base es completa, sería posible trabajar con muestreo crítico, es decir doble número de modos de Zernike por cada punto de muestreo. De cara a la aplicación a medidas experimentales con sensores de frente de ondas, será necesario analizar problemas potenciales de amplificación de ruido para encontrar el número óptimo de modos a reconstruir en función de la razón señal-ruido de las medidas. 4. El último objetivo es la aplicación de los polinomios de Zernike discretos en un problema real. Para ello el objetivo es colaborar en la validación experimental de un modelo realista y personalizado de la agudeza visual [Nestares, Navarro Antona, 2003], construido a partir de las aberraciones (modos de Zernike) medidas en un grupo de sujetos. Se trata de un experimento de alta complejidad en la cual primero se mide experimentalmente y luego se realiza una simulación (lo más realista posible) adaptada tanto al ojo como a las condiciones experimentales durante la medida, comparando finalmente los resultados con el fin de determinar la fidelidad del modelo. MÉTODOLOGÍA Y DESARROLLO DEL TRABAJO Para la consecución de los objetivos 1, 2 y 3 se aplica una metodología similar, que consta de varias fases. En primer la formulación teórica del problema seguido por la búsqueda de patrones de muestreo que puedan dar lugar a la completitud de la base (en los tres casos analizados: PZs, derivadas parciales de PZs y PZs complejos). Dicha búsqueda se basa en evitar la redundancia de las coordenadas en la red de muestreo (bidimensional) del círculo. Esto se puede conseguir con muestreos aleatorios o espirales. Una vez conseguida la completitud, ya es posible en teoría aplicar una transformación directa e inversa, con lo cual el procedimiento es reversible. Sin embargo, en la transformación inversa aparece el problema de inestabilidad numérica y amplificación de ruido (con datos reales) asociada a la inversión de una matriz de grandes dimensiones. Este punto es crucial por lo que es necesario estudiarlo en detalle. La forma estándar s realizar una descomposición en valores singulares, y a partir de aquí obtener el condicionamiento numérico (cociente entre el máximo y el mínimo valor singular). A partir de aquí existen dos opciones. Una es ortogonalizar la base mediante la factorización QR (Gram-Schmidt o Householder), donde Q es una matriz ortogonal (Q-1 = QT) cuyas columnas son los vectores de la nueva base, y R es una matriz de cambio de base (triangular). Uno de los objetivos (derivado de los anteriores) es buscar el sentido físico de esta nueva base ortogonal, así como el de la matriz de cambio de base. Este método tiene la ventaja de que en la base Q la inversión es trivial (transposición) y libre de inestabilidad y amplificación de ruido, pero en ciertas aplicaciones hay que volver a la base original por lo que si hay que invertir R tenemos de nuevo el problema del condicionamiento. Por ello es importante optimizar el patrón de muestreo para conseguir el mejor condicionamiento numérico además de completitud. Esto puede llevarse a cabo variando la densidad de muestras en función de la distancia al centro, o dando pesos distintos a los puntos de muestreo, basándose en procedimientos de cubatura. Todos los resultados de estos procedimientos han de validarse mediante simulaciones numéricas realistas incluyendo ruido en los datos de entrada. Estas simulaciones también son importantes para optimizar parámetros y procedimientos de cara a las aplicaciones prácticas. Finalmente, como aplicación a un problema real, el doctorando participa en un proyecto, en colaboración con otros miembros de nuestro grupo de investigación, que consiste en la validación experimental de un modelo Bayesiano de agudeza visual. El experimento es complejo y consiste en tres fases diferentes y participa un número de sujetos voluntarios (entre ellos el doctorando). La primera consiste en medir, en cada sujeto, las aberraciones oculares monocromáticas con el método de Trazado de Rayos Láser (TRL)[2]. En la segunda se determina la agudeza visual, para lo cual se sitúa al voluntario a 6 m de una pantalla (LCD) donde se muestran optotipos (letras) en una secuencia aleatoria que se guarda para ser usada en la simulación . Durante todo el proceso se realiza una monitorización del diámetro de la pupila mediante un pupilómetro infrarojo remoto (desarrollado a tal fin). La tercera parte consiste en simular numéricamente todo el proceso, usando para ello los datos almacenados (diámetro pupilar, secuencia de presentación de optotipos con los aciertos y fallos, y todos los datos medidos en el sujeto (aberración de onda) y el modelo de agudeza visual [14]. La validación del modelo se realiza mediante la comparación directa de las agudezas visuales determinadas experimentalmente y las predichas por el modelo. Esta Tesis se encuadra en el proyecto de investigación FIS2008-00697 (CICyT). El doctorando ha dispuesto de una beca ALBAN (America Latina Becas de Alto Nivel), otorgada por la Unión Europea Nº E07D402088CL. REFERENCIAS: 1. V. N. Mahajan, Zernike polynomials and wavefront fitting in Optical Shop Testing, 3rd ed., D. Malacara, ed. (Wiley, New York, 2007). 2. R. Navarro, E. Moreno-Barriuso, A laser ray tracing method for optical testing, Opt. Lett., 24, 951-953 (1999). 3. R. J. Noll, Phase estimates from slope type wave front sensors,J. Opt. Soc. Am. 68, 139-140 (1978). 4. R. Cubalchini, Modal wave-front estimation from phase derivative measurements,J. Opt. Soc. Am. 69, 972-977 (1979). 5. J.Y.Wang and D.E.Silva, Wave-front interpretation with Zernike polynomials,Appl. Opt. 19, 1510-1518 (1980). 6. R. K. Tyson, Principles of Adaptive Optics (Academic, Boston, 1991). 7. J. Alda and G. D. Boreman, Zernike-based matrix model of deformable mirrors: optimization of aperture size,Appl. Opt. 32, 2431-38 (1993). 8. C.-J. Kim, Polynomial fit of interferograms, Appl. Opt. 21, 4521-4525 (1982). 9. H. van Brug, Zernike polynomials as a basis for wave-front fitting in lateral shearing interferometry,Appl. Opt. 36, 278890 (1997). 10. B. Qi, H. Chen, and N. Dong, Wavefront fitting of interferograms with Zernike polynomials,Opt. Eng. 41, 15669 (2002). 11. J. Nam and J. Rubinstein, Numerical reconstruction of optical surfaces,J.Opt.Soc.Am. A 25, 1697-1709 (2008). 12. J. Schwiegerling, J. Greivenkamp, and J. Miller, Representation of videokeratoscopic height data with Zernike polynomials,J. Opt. Soc. Am. A, 12, 2105-13 (1995). 13. R. J. Noll, Zernike polynomials and atmospheric turbulence,J. Opt. Soc. Am. 66, 207-211 (1976). 14. Nestares et al.