Morse-Sard type theorems in Rn and in banach spaces

Resumen

El Teorema de Morse-Sard (1942) es un resultado importantísimo dentro del análisis matemático y con numerosas aplicaciones en otros campos. En su forma clásica establece que si una función f : Rn →Rm tiene suficiente regularidad Ck entonces su conjunto de valores críticos f(Cf ) tendrá medida de Lebesgue pequeña. En la literatura uno puede encontrar multitud de refinamientos del Teorema de Morse-Sard para diversas clases de funciones. Nosotros obtenemos la misma conclusión bajo condiciones más débiles en las que sólo pedimos que la función sea aproximadamente diferenciable de ciertos órdenes k en diversos conjuntos, que cada vez van siendo más pequeños en medida cuanto mayor sea k. Otra pregunta natural que se han planteado los matemáticos en el último siglo es determinar qué funciones f : Rn → R coinciden con funciones de clase Ck salvo en conjuntos de medida de Lebesgue Ln tan pequeños como queramos. Se dirá que tales funciones satisfacen la propiedad de Lusin de clase Ck. Una caracterización de esta propiedad viene dada por los resultados indepedientes de Isakov y de Liu y Tai (1994). En esta tesis se aporta un nuevo resultado en esta dirección en el que trabajamos con funciones subdiferenciables. En concreto demostramos que si una función tiene una subdiferencial Fréchet (proximal) no vacía en Ln-casi todo punto entonces ésta satisface la propiedad de Lusin de clase C1 (C2 respectivamente). Además, como a menudo sucede cuando se trabaja con subdiferenciales, los resultados análogos para órdenes mayores k ≥ 3 se demuestran falsos. El Teorema de Morse-Sard no es cierto en dimensión infinita. Esto se mostró por primera vez en el 1965 gracias al ejemplo dado por Kupka de una función f : `2 → R de clase C∞ tal que L(f(Cf )) > 0. Sin embargo en posteriores trabajos se ha estudiado lo que se conoce como teoremas aproximados de Morse-Sard. En ellos el objetivo es ser capaz de aproximar uniformemente cualquier función continua f : E → F entre espacios de Banach por otra diferenciable con un conjunto pequeño de valores críticos. Los resultados más fuertes en este sentido consiguen aproximaciones diferenciables sin puntos críticos para funciones f : E → Rm. Uno puede preguntarse si se puede obtener el mismo tipo de aproximación para funciones con valores en otro espacio de Banach infinito-dimensional F. En este trabajo damos una respuesta afirmativa a esta pregunta. Mostramos que para E = c0, `p ó Lp, 1 < p < ∞ y F un cociente de E, entonces cualquier función continua f : E → F puede aproximarse uniformemente por funciones de clase Ck sin ningún punto crítico, y donde k denota el orden de regularidad de la norma del espacio E en cuestión. Además un resultado algo diferente pero con la misma esencia sería el siguiente: para el caso de E = c0, `p, 1 < p < ∞ y funciones f : E → Rm de clase C1, uno puede aislar el conjunto de puntos críticos Cf ⊂ U por un abierto y de alguna forma extraerlos sin perturbar demasiado a la función f; esto es, encontrar g : E → Rm de clase C1 sin puntos críticos que aproxima a f y que coincide con ella fuera de U. Resumiendo, se ha conseguido generalizar y extender enormemente la clase de espacios de Banach (E, F) para los que los teoremas de Morse-Sard aproximados en sentido fuerte (aproximaciones sin pun- tos críticos) son válidos. Con este trabajo se ha contribuido a mejorar el entendimiento de la geometría y estructura de los espacios de Banach infinito-dimensionales. Finalizamos explicando una técnica clave usada en las demostraciones anteriores. En cierto momento nosotros necesitamos extraer difeomórficamente ciertos conjuntos cerrados X del espacio E. En general en la literatura se encuentran difeomorfismos h : E → E \ X para el caso de espacios de Banach con normas diferenciables E y donde X es un conjunto localmente compacto. Tuvimos que refinar toda esta teoría para ser capaces de extraer difeomórficamente el tipo de conjuntos cerrados que queríamos en los espacios de Banach adecuados. En concreto para nosotros X son conjuntos cerrados que localmente se ven como gráficas de funciones continuas definidas desde subespacios infinito-codimensionales y tomando valores en sus complementarios lineales en E. Y además, muy importante, podemos hacer que el difeomorfismo extractor h esté tan cerca de la identidad como deseemos. Cabe mencionar que las demostraciones que presentamos se vuelven altamente técnicas en ciertos momentos, pero no en balde conseguimos generalizaciones muy finas de toda la teoría de extracción difeomorfa existente.