Curvatura de medidas, integral singular de cauchy y capacidad analítica

Abstract

En esta tesis se caracterizan todas las medidas no atómicas (no necesariamente doblantes) para las cuales el operador integral de Cauchy es acotado en L2( ), Esta caracterización se realiza en términos de la curvatura de la medida . El resultado obtenido es equivalente a un teorema de tipo T (1) para el operador integral de Cauchy válido para medidas no doblantes. También se estudia la acotación en Lp ( ) y la acotación de tipo débil (1,1). A partir de estos resultados se pueden obtener estimaciones sobre la capacidad analítica gamma. Además permiten caracterizar geométricamente la capacidad gamma+ de un conjunto compacto. Asimismo se obtienen diversos resultados sobre la existencia de valores principales para la integral de Cauchy. Se demuestra que la acotación en L2 ( ) implica la existencia de valores principales. Dada una medida , se prueba que existen los valores principales de la integral de Cauchy de cualquier medida compleja en casi todo punto respecto de si y solo si la densidad superior (lineal) de es finita en casi todo punto respecto de y la curvatura de es -finita.