Métodos asintóticos en ecuaciones en derivadas parciales originadas en teoría cinética y cuántica

Resumen

Esta tesis consta de una introducción general y cinco capítulos correspondientes a cinco trabajadores de investigación cuyo punto en común es su origen en la teoría de semiconductores, En el segundo capítulo (primero, tras la introducción) se analiza rigurosamente el límite de campo alto del sistema de Vlasov-Poisson-Fokker-Planck (VPFP) cuando el recorrido libre medio térmico tiende a cero. Además se analizan propiedades de existencia y unicidad del sistema límite obtenido dependiendo de la dimensión espacial y del carácter atractivo o repulsivo del modelo. Motivados por este estudio en una dimensión, y buscando propiedades de unicidad que permitan destacar la solución obtenida como límite de campo alto, en el capítulo 3 se realiza un completo estudio de unicidad en leyes de conservación para datos iniciales débiles. Se demuestra que dos conceptos clásicos de solución, solución entrópica y solución admisible, son equivalentes e incluso se debilitan las hipótesis para obtener una única solución físicamente relevante. En el siguiente capítulo se conectan, mediante el método de cancelación de la viscosidad, el límite parabólico de VPFP y el hiperbólico o de campo alto estudiado en el capítulo 2. Se prueba con rigor que el primero no es más que una perturbación estable de tipo viscoso del segundo usando diversas técnicas dependiendo de la dimensión espacial de definición. Además se estudian propiedades de regularidad y de explosión en tiempo finito para el primero de los sistemas. Los dos últimos capítulos constituyen el estudio de modelos cuánticos de esta memoria. En ellos se deduce y estudia un modelo matemático que describa la dinámica de un electrón que atraviesa una red iónica, un polarón. En el capítulo 5, bajo una hipótesis de interacción de tipo armónica y local entre los iones del cristal, se deduce un nuevo modelo para la evolución del polarón que es una variante del s