Representation growth

Resumen

Los resultados principales de esta tesis tratan del crecimiento de representaciones de ciertas clases de grupos. Más concretamente, si r_n(H) denota el número de representaciones complejas no isomorfas de dimensión n de un grupo H, estudiamos los números r_n(H)$ y la relación de esta información aritmética con propiedades estructurales de H. En el capítulo 1 presentamos la teoría preliminar necesaria. En el capítulo 2 introducimos el Problema de los Subgrupos de Congruencia para un grupo algebraico G definido sobre un cuerpo global k. En el capítulo 3 consideramos H=G(O_S) un subgrupo aritmético de un k-grupo algebraico semisimple para algún cuerpo global k con anillo de S-enteros O_S. Si el Álgebra de Lie de G es perfecta, Lubotzky y Martin probaron en \cite{LuMa} que si H tiene la Propiedad débil de los Subgrupos de Congruencia entonces H tiene Crecimiento Polinomial de Representaciones, es decir, r_n(H)< p(n) para algún polinomio p. Usando una estrategia diferente, probamos que el mismo resultado es cierto para cualquier grupo algebraico semisimple G incluyendo aquellos con un álgebra de Lie no perfecta. En el capítulo 4 aplicamos los resultados en crecimiento de representaciones de grupos de la forma H=G(O_S) para demostrar que si H tiene la Propiedad débil de los Subgrupos de Congruencia entonces s_n(H)< n^{Dlog n}$ para alguna constante D, donde s_n(H) denota el número de subgrupos de H de índice como mucho n. Como anteriormente, esto extiende resultados similares de \cite{Lu}, Nikolov, Abert, Szegedy \cite{NiAlSze} y Golsefidy \cite{Gol} para grupos casi simples con álgebra de Lie perfecta a cualquier k-grupo casi simple G. En el capítulo 5 consideramos H=1+J, donde J es un álgebra asociativa nilpotente finita, llamamos a estos grupos grupos asociados a álgebras. La Conjetura de los Pseudogrados dice que para grupos asociados a álgebras los números r_n(H)$ podrían ser obtenidos mirando las raíces cuadradas de los tamaños de las órbitas que aparecen en el método de las órbitas de Krillov. En \cite{Ja1} Jaikin obtuvo un 2-grupo que servía de contraejemplo a esta conjetura. Ofrecemos contraejemplos para cualquier primo p estudiando grupos de la forma H=1+I_{F_q}$, donde I_{F_q} es el ideal de augmentación del álgebra de grupo F_q[P] para algún p-grupo P. Además, demostramos que para estos grupos $r_1(H)=q^{k(P)-1}|B_0(P)|, donde B_0(P) es el multiplicador de Bogomolov de P. Finalmente en el capítulo 6, consideramos H=\prod_{i\in I} S_i, donde los S_i son grupos finitos simples no abelianos. Damos una caracterización de los grupos de esta forma que tienen Crecimiento Polinomial de Representaciones. También demostramos que dentro de esta clase uno puede obtener cualquier tipo de crecimiento de representaciones , i.e., para cualquier a>0 existe H=\prod_{i\in I}S_i donde los S_i son grupos finitos simples de tipo Lie tal que r_n(H) se comporta como n^a. Además, podemos tomar todos los S_i con un tipo de Lie fijado. Esto complementa resultados de Kassabov y Nikolov en \cite{KaNi}.