Nonlinear mean value properties related to the p-Laplacian /

Abstract

El tema principal de la presente tesis se enmarca en la Teoría Geométrica de Funciones, las Ecuaciones en Derivadas Parciales No Lineales y la Teoría de Juegos. En concreto, la tesis está dedicada al estudio de propiedades del valor medio no lineales relacionadas con el p-laplaciano, ∆_pu = div(|∇u|^{p−2} ∇u), un operador en derivadas parciales definido para 1 < p < ∞ que generaliza el laplaciano usual. Las soluciones débiles del p-laplaciano se conocen como p-armónicas. En particular, si u ∈ C^2 es una función p-armónica, entonces verifica la denominada propiedad del valor medio asintótico para todo x tal que ∇u(x) es distinto de cero. Esta propiedad constituye el punto clave en la conexión entre las propiedades del valor medio no lineales y el p-laplaciano. Por otro lado, de la misma manera en que la propiedad de la media es la base de la interpretación estocástica de las funciones armónicas, recientemente se ha descubierto una conexión entre propiedades del valor medio no lineales asociadas al p-laplaciano y ciertos juegos estocásticos, conocidos como tug-of-war games. Tales juegos pueden entenderse como una generalización del concepto de random walk, un análogo discreto del movimiento Browniano.