Dimensión print y medidas autosemejantes con solapamiento

Resumen

La tesis se encuadra en el área de la teoría geométrica de la medida, Las ideas básicas para definir y analizar los conjuntos autosemejantes se remontan al trabajo de 1946 de P.A.P. Moran, siendo retomadas por B.Mandelbrot (1977) y J.E.Hutchinson (1981). Un conjunto autosemejante se puede expresar como unión de copias a escala del mismo conjunto. Los resultados publicados se refieren principalmente al caso en que estas copias son disjuntas o tienen solapamientos (intersecciones) pequeños. El caso de solapamientos con medida positiva tiene mayor complejidad y se resiste al análisis. En esta tesis se trata este problema, obteniéndose resultados sobre la dimensión de ciertas medidas autosemejantes con solapamientos. En un principio se planteó el estudio dela dimensión print de conjuntos autosemejantes. Este concepto, que fue introducido en 1988 por C.A. Rogers y fue estudiado también por M. Reyes, generaliza el de dimensión de Hausdor pero resulta difícil de calcular. En la actualidad aún no se ha obtenido la dimensión print de conjuntos autosemejantes tan conocidos como el triángulo de Sierpinski o la curva de Koch, aunque se ha obtenido algún resultado parcial por M.A. Sastre. El planteamiento se basó en el estudio de las proyecciones de la medida uniforme soportada en el fractal, resultando ser estas proyecciones medidas autoesemejantes con solapamientos. La investigación se centró finalmente en el problema del solapamiento. En primer lugar se construye una familia de medidas sobre los códigos comprobando que son ergódicas. Esta familia incluye, entre otros procesos, a las cadenas de Markov finitas ergódicas. El resultado central de la investigación es el cálculo de la dimensión de ciertas medidas autosemejantes asociada a una familia de sistemas de homotecias en Rd con centros racionales y razones todas iguales a 1/L, siendo L un número natural mayor o igual que 2. El resultado principal de la investigación realizada es la demostr