Models of linear operators satisfying operator inequalities

Resumen

Una de las principales herramientas para poder entender propiedades de un operador abstracto en un espacio de Hilbert consiste en la construcción de un modelo funcional. Es decir, dar un operador que sea unitariamente equivalente o similar al operador inicial, que actúe en un espacio de funciones y que tenga una forma relativamente sencilla. De esta manera, cuestiones sobre el operador abstracto inicial (como la existencia de subespacios invariantes, el estudio de vectores propios y su completitud, etc.) se traducen a cuestiones sobre el nuevo operador modelo, para las cuales disponemos de técnicas del análisis complejo para su estudio. Uno de los modelos más célebres fue el obtenido en la década de 1960 por Sz.-Nagy y Foias para operadores contractivos. Ese modelo ha sido la principal fuente de inspiración para la tesis. Es inmediato que un operador es contractivo si y sólo si satisface cierta desigualdad de operadores. Usando esta idea, se han conseguido obtener nuevas generalizaciones del modelo de Sz.-Nagy y Foias. Incluso hay una investigación muy intensa en este sentido para tuplas de operadores que conmutan. El plan de esta tesis ha sido mejorar los resultados conocidos para un sólo operador. Se han conseguido los siguientes objetivos: 1) Sobre modelos unitariamente equivalentes, se ha conseguido ampliar la clase de operadores que se pueden modelar. Esencialmente, se han aportado casos del tipo no Nevannlina-Pick. Además, se han obtenido modelos explícitos y se ha caracterizado la unicidad en general de dichos modelos. 2) Se han estudiado también los modelos bajo semejanza. En este caso, se ha podido ampliar considerablemente la clase de operadores que se modelan. La semejanza no preserva todas las propiedades del operador original, pero sí las propiedades espectrales. Esto es clave para obtener consecuencias interesantes a partir del modelo. 3) Consecuencias. Además de obtener consecuencias de tipo espectral (en el espíritu de la teoría de Sz.-Nagy y Foias), hemos creado un nuevo puente en lo que a consecuencias derivadas del modelo se refiere: consecuencias ergódicas. Además de las técnicas naturales para abordar este tipo de cuestiones (técnicas de la teoría de operadores y del análisis complejo), en esta tesis se han incorporado, como novedad, el uso de dos herramientas que han resultado ser sumamente útiles: las álgebras de Banach y las diferencias finitas.