Competition (Competición)

Resumen

El objetivo principal de esta tesis es analizar el modelo difusivo de tipo Lotka-Volterra competitivo mediante el estudio de la unicidad, multiplicidad y estabilidad de sus soluciones estacionarias no negativas, preferiblemente cuando la difusión de las especies en el medio es suficientemente pequeña. La tesis se ha dividido en dos partes, la primera dedicada a la ecuación y la segunda al sistema difusivo-competitivo, construidas a partir de una selección de los resultados más significativos de los artículos de investigación realizados por el candidato a doctor junto con su tutor durante el periodo doctoral. La Parte I consta de los Capítulos 2 y 3, y cubre tanto el análisis de la ecuación logística sublinear, como el problema superlinear indefinido asociado. De forma más precisa, el Capítulo 2, comienza caracterizando la regularidad de un conjunto abierto y acotado a través de la regularidad de la función distancia en la dirección de un campo vectorial exterior tangente. Este resultado es crucial para poder lidiar con condiciones de frontera mixtas no clásicas. El objetivo principal de este capítulo es proporcionar el perfil límite de las soluciones positivas de dicha ecuación cuando la tasa de difusión converge a cero, lo cual generaliza los resultados más recientes desarrollados para este tipo de ecuaciones. En cuanto al Capítulo 3, este hace un uso sistemático de una nueva identidad de Picone generalizada para estudiar el problema superlineal indefinido. En particular, en este capítulo no solo se adaptan los resultados de Gómez-Reñasco y López-Gómez (2000,2001), y López-Gómez (2015), para que sigan siendo válidos en el caso de condiciones de frontera mixtas no clásicas, sino que también se complementan estableciendo su optimalidad, probando que dejan de ser ciertos incluso cuando la función involucrada es una perturbación arbitrariamente pequeña de un monomio. La Parte II engloba los restantes capítulos, y centra su análisis en el modelo difusivo de tipo Lotka-Volterra competitivo para dos especies con operadores uniformemente elípticos en forma de divergencia, y condiciones de frontera generales mixtas. En el Capítulo 4 se estudia el problema de perturbación singular en el modelo difusivo de competición, proporcionando el perfil límite de los estados estacionarios de coexistencia, esto es, aquellos con ambas componentes positivas, en las regiones del habitad donde el modelo no difusivo asociado (el resultante de hacer cero las tasas de difusión) exhibe un atractor global. En el Capítulo 5, se establece el Principio de Inestabilidad Inducida, según el cual la inestabilidad local de un estado estacionario del modelo no difusivo, (u,v), en una región arbitrariamente pequeña del hábitat es inducida, globalmente, a una familia de estados estacionarios del modelo difusivo que perturben desde (u,v) en dicha región. Este resultado es completamente nuevo y, entre sus principales consecuencias, está el hecho de que proporciona el Teorema 2.1(i) de Furter y López-Gómez (1997). Además, el Principio de Inestabilidad Inducida nos permite obtener el primer resultado general de multiplicidad para el modelo difusivo basado exclusivamente en las heterogeneidades espaciales del dominio, sea cual sea su geometría. Para concluir, el Capítulo 6 proporciona dos situaciones en las que, si los coeficientes de difusión son suficientemente pequeños, el modelo difusivo exhibe un único estado estacionario de coexistencia, que es, de hecho, un atractor global para las soluciones con ambas componentes positivas. En primer lugar, se prueba la unicidad en el caso en el que el modelo no difusivo exhibe permanencia en todo el hábitat. Finalmente, la unicidad también se consigue en el modelo difusivo-competitivo heterogéneo cuando hay baja competición.