Análisis matemático de un modelo de ecuaciones en derivadas parciales con términos quimiotáctico. Mathematical analysis of a model of partial differential equations with chemotactic terms s

Résumé

En esta tesis analizamos las propiedades de un conjunto de sistemas de Ecuaciones en Derivadas Parciales que modelan varios fenómenos de la biología, tanto desde el punto de vista del análisis matemático como del análisis numérico. Los modelos presentan términos de crecimiento logístico con un comportamiento periódico o tienden a un comportamiento periódico. Se abordan los sistemas parabólico-elíptico, parabólico-parabólico y parabólico-ordinario. En la tesis se obtienen resultados sobre la existencia global de las soluciones, su límite uniforme y su comportamiento asintótico periódico uniforme. Los sistemas de quimiotaxis presentan una no linealidad de segundo orden (en las derivadas) donde radica la principal dificultad del problema. Comenzamos, en el Capítulo II, con el análisis del problema parabólico-elíptico, donde se utiliza un método comparativo, conocido como "método del rectángulo", para comprobar la existencia global de las soluciones y su comportamiento asintótico. Esta solución converge a una solución homogénea en el espacio y periódica en el tiempo, bajo la hipótesis adecuada en los datos del problema. El problema se generaliza a un sistema de 3 ecuaciones en el que dos especies biológicas compiten entre sí y ambas muestran un movimiento quimiotáctico. En el Capítulo III, analizamos el modelo parabólico-parabólico y se utiliza el método de Alikakos-Moser basado en iteraciones en el exponente 'p' de la integral de u a la potencia p. Bajo las mismas hipótesis en el término logístico que en el capítulo II, se obtiene el mismo comportamiento asintótico. En el Capítulo IV se estudia el problema parabólico-parabólico con términos no locales, y se impone una relación entre los exponentes del problema. Se estudian detalladamente los diferentes casos, para una amplia gama de parámetros. En el Capítulo V, consideramos el problema parabólico-ordinario, ya que no hay difusión en la segunda variable, no hay efecto regularizador como en los capítulos anteriores. En este obtenemos la existencia global y estudiamos con éxito el comportamiento asintótico. Los Capítulos VI-XI tratan el problema desde un punto de vista numérico. En primer lugar, se introducen los fundamentos del método de la "diferencias finita generalizadas" aplicado a las ecuaciones en derivadas parciales. En el Capítulo VII se considera numéricamente el problema parabólico1 elíptico, se estudia la convergencia del método y se aplica a diferentes datos, obteniendo resultados sobre el hinchamiento, la convergencia y la periodicidad, en función de los valores de los parámetros y los datos del problema. En el Capítulo VIII se aplica el método de las diferencias finitas generalizadas al problema parabólico-parabólico, se estudia su convergencia y se aplica a varios ejemplos con funciones conocidas. Los Capítulos IX y X están dedicados al tratamiento del problema parabólico-parabólico con términos integrales y el problema parabólico-ordinario con coeficientes periódicos, respectivamente. Se analiza la convergencia del método y se presentan varios ejemplos con comportamientos diferentes. Para terminar la memoria, en el Capítulo XI se amplía el método a un problema de 3 ecuaciones parabólico-ordinarias, conocido en la literatura por sus aplicaciones a la medicina.