Anyon models in quantum codes and topological superconductors

Resumen

En esta tesis estudiamos dos temas relacionados con la información cuántica y la topología: los superconductores topológicos y la corrección cuántica topológica de errores. Los superconductores topológicos han sido ampliamente estudiados, hecho parcialmente motivado por la búsqueda de fermiones de Majorana en sistemas de materia condensada. Estas cuasipartículas son anyones no abelianos y se pueden utilizar para el procesamiento de información cuántica. Recientemente se han presentado varias propuestas y experimentos en los que se obtienen superconductores topológicos mediante la construcción de heteroestructuras. Dichas heteroestructuras generalmente consisten en un superconductor de onda s acoplado a un semiconductor. En la primera publicación exploramos la posibilidad de diseñar un superconductor topológico utilizando un superconductor padre de onda d acoplado a un gas de electrones bidimensional con interacción de espín-órbita y un campo Zeeman. Hallamos una expresión analítica de los estados de Majorana y comparamos estos resultados con los obtenidos cuando se usa un superconductor de onda s convencional. Observamos que, a pesar de la dependencia angular del acoplo de onda d, la localización de los fermiones de Majorana es muy similar para el mismo valor de la constante de acoplo superconductora. Puesto que los superconductores de onda $d$ corresponden en general a superconductores de alta temperatura y, por consiguiente, con un valor mucho mayor para el acoplo superconductor, podemos esperar una localización más pronunciada para este tipo de configuraciones. Además, empleamos un invariante topológico que muestra la naturaleza topológica del superconductor y verificamos la robustez de los modos de energía cero frente el ruido estático. La segunda publicación investiga otras interacciones superconductoras más exóticas: acoplamientos sin nodos compatibles con la simetría de un cristal tetragonal. Calculamos el diagrama de fases topológicas en presencia de un campo Zeeman y acoplamiento espín-órbita. Asimismo, analizamos en detalle los altos números de Chern obtenidos, los modos de borde masivo y los modos de energía cero. La corrección cuántica de errores es una elemento esencial en la consecución ordenadores cuánticos tolerantes a fallos. Los códigos topológicos de corrección cuántica de errores se destacan como uno de los candidatos más eficientes y prometedores para lograr este último fin. La tercera publicación utiliza la conexión entre los órdenes topológicos y los códigos topológicos de corrección de errores para definir un nuevo código topológico, basado en el modelo del doble semión. Usamos una versión modificada de los operadores de plaqueta del modelo del doble semión para construir los operadores de cadena y los operadores lógicos necesarios para una memoria cuántica. El código resultante se ajusta al formalismo del estabilizador, pero no es un código formado por operadores de Pauli ni CSS. En la cuarta publicación exploramos más a fondo el código desarrollado en la tercera publicación y obtenemos el umbral de error para dos tipos de ruido: el ruido independiente de inversión de bits y fases, y el ruido de despolarización. Si bien esta tarea generalmente se aborda realizando un mapeo a un modelo mecánico estadístico, la estructura de los operadores de plaquetas hace que éste sea demasiado complejo. En su lugar, aprovechamos el rendimiento casi óptimo de algunos decodificadores neuronales para calcular los valores de umbral. También hacemos una comparación con el código tórico de Kitaev y constatamos la presencia de algunas diferencias como consecuencia de que el código semiónico no está compuesto únicamente de operadores de Pauli. Por último, comparamos el rendimiento de perceptrones multicapa y redes neuronales convolucionales para la tarea de decodificación, encontrando que las segundas son más apropiadas para efectuar esta tarea.