Quantifying chaos from time-series data through lyapunov exponentsa computational data science approach / cuantificando el caos en series temporales a través del exponente de lyapunov: un enfoque desde la ciencia de datos computacional

Resumen

La aparición de la teoría del caos ha supuesto un cambio de paradigma en la ciencia. Los sistemas caóticos son sistemas dinámicos deterministas no lineales que pueden comportarse con un movimiento aparentemente errático e irregular. El objetivo de esta tesis es profundizar en los métodos que permiten la detección de comportamientos caóticos en el sistema generador desconocido de una serie temporal que presente una evolución irregular aparentemente aleatoria. En la tesis se profundiza en los diferentes métodos y técnicas computacionales que persiguen contrastar la hipótesis del caos a través de la estimación de los llamados exponentes de Lyapunov. Hoy en día, cuantificar de manera rigurosa el caos a partir de datos de series temporales mediante este tipo de medidas cuantitativas está lejos de ser un ejercicio trivial y plantea una serie de retos teóricos y prácticos que constituyen el origen y el núcleo central de la presente investigación. Hemos llevado a cabo una revisión detallada del procedimiento de reconstrucción del atractor a partir de una serie temporal que nos permita extraer algunas de sus propiedades invariantes e.g., los exponentes de Lyapunov del proceso generador desconocido de los datos. Obsérvese que un punto clave para crear una reconstrucción adecuada del espacio de estados es fijar un criterio correcto para estimar robustamente los parámetros que intervienen en dicho procedimiento. En este sentido, hemos propuesto extender los enfoques heurísticos tradicionales basados en prescripciones a un enfoque estadístico basado en procedimientos de selección de modelos que tengan en cuenta tanto el criterio de información bayesiano como las técnicas de validación cruzada. Además, se ha extendido el procedimiento tradicional de reconstrucción del atractor proponiendo un nuevo algoritmo aplicable cuando la serie de datos no presenta una frecuencia de observación regular. Una vez reconstruido el atractor puede procederse a la estimación de los exponentes de Lyapunov. Fundamentalmente, existen dos enfoques a la hora de estimar los exponentes de Lyapunov a partir de series temporales. Por una parte, los métodos tradicionales directos cuya principal debilidad es que no proporcionan estimadores robustos con series cortas y errores de medida. En esta tesis nos hemos centrado en el segundo tipo de métodos para la estimación de los exponentes de Lyapunov, los llamados métodos jacobianos indirectos, que sí consiguen resolver esas limitaciones de los métodos directos. Hemo considerando tanto un marco global como local de regresión, estimando modelos no lineales de redes neuronales y métodos polinómicos generalizados. En este contexto se ha examinado el efecto que sobre la estimación tiene considerar diferentes errores de medida en la función de observación que transforma las variables de estado no directamente observables, en datos observados en forma de serie temporal. Se ha desarrollado de forma complementaria una novedosa librería de R llamada DChaos que proporciona una interfaz para el análisis de series temporales caóticas. En esta librería se propone un procedimiento computacional que se fundamenta en la derivación analítica, en lugar de numérica, del jacobiano necesario para la estimación de los exponentes de Lyapunov. Además, permite estimar consistentemente los exponentes de Lyapunov mediante diversos métodos computaciones globales y locales robustos con modelos de redes neuronales y polinomios autoregresivos. Se han implementado, asimismo, los contrastes formales para la hipótesis de la presencia de caos determinista en el sistema generador de una serie temporal.