Symmetries of curved metric measure spaces

Resumen

El problema de transporte óptimo de Monge-Kantorovich permite dotar al espacio de medidas de probabilidad de una distancia que refleja propiedades geométricas del espacio base. Lott-Villani, e independientemente Sturm (2006) aprovechan esto para describir una noción sintética de curvatura de Ricci acotada inferiormente mediante propiedades de convexidad de un funcional de entropía adecuado. Esta noción, llamada condición de Curvatura-Dimensión, generaliza el caso clásico de variedades riemannianas, además de ser estable bajo convergencia de Gromov-Hausdorff. Sin embargo, con el fin de evitar comportamiento patológico; como la presencia de variedades de Finsler o excesiva bifurcación de geodésicas, Gigli, Mondino y Savaré (2011) incluyen una condición adicional sobre el espacio de Sobolev W^{1,2}(X,m), piden que este espacio sea un espacio de Hilbert. Los espacios con los que trabajamos en esta tesis son aquellos que satisfacen la condición de Curvatura-Dimensión riemanniana, RCD*(K,N). Nuestro enfoque es el estudio de las simetrías de estos espacios. Probamos primeramente que su grupo de isometrías es un grupo de Lie, obtenemos cotas superiores para su dimensión y miramos el caso en el que la dimensión es máxima. Posteriormente, mostramos que es posible el alterar la medida de referencia con el fin de obtener que la acción por isometrías de un grupo compacto también fije a la medida de referencia. Esto nos permite obtener información sobre las posibles dimensiones de subgrupos cerrados que pueden actuar en un espacio RCD*(K,N), además de poder estudiar espacios homogéneos y simétricos. Finalmente miramos las simetrías del espacio de medidas de probabilidad en sí mismo. Mostramos que en el caso de curvatura positiva todas las simetrías del espacio de medidas de probabilidad están determinadas por las simetrías del espacio base.