The homotopy type of the contactomorphism group of a contact 3-manifold

Resumen

En esta tesis probamos que el tipo de homotopía de cada componente conexa del grupo de contactomorfismos de una 3-variedad de contacto rígida está caracterizado por el tipo de homotopía del grupo de difeomorfismos y cierto dato que proviene del espacio de contactomorfismos formales. A consequencia de esto deducimos que cada componente conexa del espacio de encajes largos legendrianos en R3 tiene el mismo tipo de homotopía que la componente conexa del espacio de encajes largos diferenciables subyacente. Esto implica que cualquier componente conexa del espacio de encajes legendrianos en S3 tiene el tipo de homotopía de U(2)xK(G;1), donde el grupo G fue calculado for A. Hatcher y R. Budney. Calculamos el tipo de homotopía del grupo de contactomorfismos de varias 3-variedades de contacto rígidas: S1xS2, fibrados legendrianos sobre superficies compactas orientables y cocientes finitos de la 3-esfera. De hecho, el método utilizado para probar estos resultados funciona siempre que conozcamos el tipo de homotopía del grupo de difeomorfismos. Probamos varios resultados en el camino que tienen interés por sí mismos: calculamos los grupos de homotopía del espacio de legendrianas encajadas, desarrollamos una teoría de superficies convexas multiparamétrica, caracterizamos la simplicidad formal legendriana en términos del espacio de estructuras de contacto rígidas en el complemento de una legendriana y probamos la existencia de trivializaciones comunes de familias multiparamétricas de 3-espacios euclídeos de contacto rígidos. También comparamos la situación con el caso de contacto no rígido. Finalmente, aplicamos métodos de topología de contacto para estudiar el espacio de nudos parametrizados en R4.