Finitely generated non-cocompact NEC groups

Resum

Esta tesis está dedicada al estudio de grupos discretos de isom et rías r del plano hiperb ólico H incluyendo transformaciones que revierten la orientación (reflex iones y reflex iones con des plazamiento) y elementos de contorno (parabólicos e hiperbólicos), de forma que el espacio de órbitas H/r es no compact o. Dos casos específicos relacionados con los grupos NE C no cocompact os finit ima nte generados, los subgrupos de isomet rías que preservan la orientación o grupos fuchsiano s, y los grupos NEC cocompactos han sido ampliamente estudiados en la bibliografía. Este trabajo cubre una laguna que ha exist ido en la literat ura por cierto tiempo int roduciendo de forma razonablemente com pleta los grupos NEC finitamente generados no cocompact os. Se proporciona con demostración la presentación en forma de generadores y relaciones de estos grupos, introduciendo su signat ura y usá ndola para estudiar sus espacios de órbitas y las condiciones necesarias y suficientes de isomorfía entre grupos NE C. Se int roduce además un conjunto de invaria ntes que clasifica las superficies de Klein no compacta s salvo homeomorfismos a partir de la signatura del grupo NEC de la que es espacio de órbitas. Obt enemos la característica de Euler del espacio de órbitas y se usa para deducir la signatura del subgru po fuchsiano canónico de un grupo NEC dada su signat ura. Finalmente, se int roduce el concept o de grupo NEC elemental y se obtiene la present ación de todos los grupos NEC element ales. Se presentan result ados relacionados con los conjuntos límite de los grupos NEC y se aplican para su clasificación en primer y segundo tipo de forma similar a como se hace con los grupos fuchsianos. Para ello se usan las propiedades del subgrupo fuchsiano canónico del grupo NE C dado.