Condicionamiento y alta precisión en problemas espectrales estructurados

Abstract

Esta memoria trata dos aspectos relacionados con la precisión de algoritmos espectrales para problemas matriciales estructurados: 1) Se definen números de condición estructurados de autovalores múltiples, eventualmente defectivos, y se obtienen fórmulas explícitas para diversas clases estructuradas de matrices, entre ellas las simétricas y antisimétricas complejas, persimétricas, Toeplitz, Hankel, hamiltonianas y antihamiltonianas reales, Para cada clase se compara el número de condición estructurado con el número de condición usual, a fin de identificar casos en los que un algoritmo estructurado pueda ser mucho más preciso que un algoritmo convencional. También se trata el caso de autovalores múltiples de pares regulares de matrices. 2. Se proponen, analizan e implementan algoritmos para factorizar y calcular con alta precisión relativa autovalores y autovectores de dos clases estructuradas de matrices simétricas: las matrices DSTU (escalamientos diagonales de matrices totalmente unimodulares), y las matrices TSC (definidas por medio de una condición de signos sobre sus menores). Los algoritmos tienen dos etapas: una primera en la que se obtiene una factorización simétrica, y una segunda en la que se aplica un método de autovalores tipo Jacobi a la matriz factorizada. La primera etapa es la que se adapta a cada una de las estructuras, aprovechando propiedades especiales de la clase de matrices que permiten evitar cualquier posible cancelación en las operaciones aritméticas del proceso de factorización. Un análisis de errores detallado de la etapa de factorización muestra que ésta se lleva a cabo con una precisión suficiente para garantizar que la segunda etapa produce alta precisión relativa, esto es, que se calculan con alta precisión no sólo los autovalores de mayor módulo (como hacen los algoritmos convencionales) sino también los autovalores más pequeños de la matriz